Системы строя: Меантоновые темпераменты

Введение

Система музыкальной настройки

Меантоновые темпераменты — это музыкальные темпераменты, то есть разновидности систем настройки, получаемые за счет уменьшения квинт таким образом, чтобы их соотношение было немного меньше 3:2 (делая их более узкими, чем чистая квинта), с целью приближения терций к чистым интервалам. Меантоновые темпераменты строятся аналогично пифагорейской настройке, как нагромождение квинт, но являются темпераментами в том смысле, что квинты в них не являются чистыми.

Заметные темпераменты меттонов

Двенадцатитоновая равная темперация, полученная путем приравнивания всех полутонов, каждый из которых равен одной двенадцатой октавы (при отношении, равном корню 12-й степени из двух к единице, сужает квинты примерно на 2 цента или на пифагорейскую запятую, и создает трети, которые лишь немного лучше, чем в пифагорейском строе. Двенадцатитоновая равная темперация примерно соответствует среднетоновой настройке. Четвертная запятая в среднетоновой настройке, которая темперирует каждую из двенадцати квинт на синтоническую запятую, является наиболее известным типом среднетоновой темперации, и термин «среднетоновая темперация» часто используется для обозначения именно её. Четыре восходящие квинты (например) с темперацией дают совершенную большую терцию, на одну синтоническую запятую уже, чем пифагорейская терция, которая получилась бы из четырех чистых квинт. Четвертная запятая в среднетоновой настройке использовалась с начала XVI века до конца XIX века. В настоящее время она стандартизирована и расширена путем деления октавы на 31 равный шаг. Это происходит так же, как и в пифагорейском строе; то есть, берется основной тон (например, ) и последовательно поднимается на шесть квинт (всегда корректируясь делением на , чтобы оставаться в пределах октавы выше основного тона), и аналогично опускается на шесть квинт (возвращаясь в октаву умножением на ). Однако, вместо использования , которое дает «чистые» квинты, это значение должно быть умножено на корень четвертой степени из (синтоническая запятая – это отношение чистой большой терции к пифагорейской терции). Эквивалентно, вместо можно использовать , чтобы получить слегка уменьшенные квинты. В результате интервал становится «чистой терцией», а промежуточные секунды (, ) делятся равномерно, так что и равны, чей квадрат равен . То же самое верно и для последовательностей больших секунд и . Однако в среднетоновой настройке все еще присутствует «запятая» (то есть, и имеют разные высоты; они не совпадают, как в ). Среднетоновая запятая на самом деле больше пифагорейской и имеет противоположное направление изменения высоты (острый против плоского). В третьей запятой среднетоновой настройке квинты темперируются на , а три нисходящие квинты (например) дают совершенную малую терцию, на одну синтоническую запятую шире, чем пифагорейская запятая, которая получилась бы из трех чистых квинт. Третья запятая в среднетоновой настройке может быть очень хорошо аппроксимирована делением октавы на 19 равных шагов.

Twelve tone equal temperament, obtained by making all semitones the same size, each equal to one twelfth of an octave (with ratio the 12th root to one narrows the fifths by about 2 cents or of a Pythagorean comma, and produces out of tune thirds that are only slightly better than in Pythagorean tuning. Twelve tone equal temperament is roughly the same as meantone tuning. Quarter comma meantone, which tempers each of the twelve fifths by of a syntonic comma, is the best known type of meantone temperament, and the term meantone temperament is often used to refer to it specifically. Four ascending fifths (as ) tempered by produce a perfect major third , one syntonic comma narrower than the Pythagorean third that would result from four perfect fifths. Quarter comma meantone has been practiced from the early 16th century to the end of the 19th. Nowadays it is standardised and extended by a division of the octave into 31 equal steps. This proceeds in the same way as Pythagorean tuning; i. e., it takes the fundamental (say, ) and goes up by six successive fifths (always adjusting by dividing by to remain within the octave above the fundamental), and similarly down, by six successive fifths (adjusting back to the octave by multiplying by However, instead of using the which gives "perfect" fifths, this must be multiplied by the fourth root of ( is the "syntonic comma": the ratio of a just major third to a Pythagorean third .) Equivalently, one can use instead of , to produce slightly reduced fifths. This results in the interval being a "perfect third" , and the intermediate seconds (, ) dividing uniformly, so and are equal ratios, whose square is The same is true of the major second sequences and However, there is still a "comma" in meantone tuning (i. e. the and the have different pitches; they are not the same as in The meantone comma is actually larger than the Pythagorean one, and in the opposite pitch direction (sharp vs. flat). In third comma meantone, the fifths are tempered by and three descending fifths (such as ) produce a perfect minor third one syntonic comma wider than the Pythagorean comma that would result from three perfect fifths. Third comma meantone can be approximated extremely well by a division of the octave in 19 equal steps.

Тон как среднее значение

Название "меатонный темперамент" происходит от того, что все такие темпераменты имеют только один размер тона, находящийся между большим тоном (9:8) и малым тоном (10:9) справедцовой интонации, которые различаются на синтоническую запятую. В любой регулярной системе (то есть, где все пятые, кроме одной, имеют одинаковый размер) целый тон (as) достигается после двух квинт (as), а большая терция – после четырех квинт. Следовательно, средний тон составляет ровно половину большой терции меатонного темперамента (в центах или, эквивалентно, квадратный корень из отношения частот). Это один из смыслов, в котором тон является "средним"; это медианное или промежуточное значение между и . В частности, это их геометрическое среднее: как отношение частот, эквивалентное 193,156 центам – размер целого тона в четверть запятой. Однако любой промежуточный тон может считаться "средним" в смысле нахождения между двумя значениями и, следовательно, является допустимым выбором для какой-либо системы меатонного темперамента. В случае четверть-запятой меатоны, кроме того, где большая терция сужается на синтоническую запятую, целый тон, соответственно, сужается на пол-запятой по сравнению с большим тоном справедцовой интонации (9:8) или расширяется на пол-запятой по сравнению с малым тоном (10:9). Это еще один смысл, в котором целый тон в четверть-запятой меатоне можно считать "средним" тоном; это объясняет, почему четверть-запятая меатона часто считается образцовым меатонным темпераментом, поскольку он находится посередине (в центах) между его возможными крайними значениями.

Равные темпераменты

Ни простая квинта, ни квинта в четверть запятой не являются рациональной долей октавы, однако существует несколько строев, которые аппроксимируют квинту таким интервалом; это подмножество равных темпераций, в которых октава разделена на некоторое число (N) интервалов одинаковой ширины. Равные темперации, полезные в качестве меантоновых строев, включают (в порядке возрастания ширины генератора) и . Однако, чем дальше строй отклоняется от четверти комы, тем меньше он связан с гармоническими тембрами, что можно компенсировать, настраивая парциальные тоны в соответствии со строем – что возможно, однако, только на электронных синтезаторах.

Волчьи интервалы

Целое число чистых квинт никогда не составит целое число октав, потому что число является иррациональным. Если целое число чистых квинт, сложенных последовательно, должно завершаться октавой, то один из интервалов, энгармонически эквивалентный квинте, должен иметь другую ширину, чем остальные квинты. Например, чтобы 12-тоновая хроматическая гамма в пифагорейском строе замкнулась на октаве, один из квинтовых интервалов должен быть понижен ("разострен") на пифагорейскую запятую; эта измененная квинта называется "волчьей квинтой", поскольку она звучит похоже на квинту по размеру интервала и кажется расстроенной квинтой, но на самом деле является уменьшенной секстой (например, между и ). Аналогично, 11 из 12 чистых кварт также настроены верно, но оставшаяся кварта – увеличенная терция (а не истинная кварта). Волчьи интервалы – это артефакт конструкции клавиатуры, возникающий, когда клавишный инструмент использует клавишу, которая фактически настроена на высоту, отличную от предполагаемой. Это можно наиболее легко продемонстрировать на изоморфной клавиатуре, как показано на рисунке 2. На изоморфной клавиатуре любой заданный музыкальный интервал имеет одинаковую форму, где бы он ни находился, за исключением краев. Вот пример. На клавиатуре, показанной на рисунке 2, от любой ноты нота, находящаяся на чистую квинту выше, всегда находится непосредственно справа и сверху от данной ноты. В пределах диапазона нот этой клавиатуры нет волчьих интервалов. Проблема возникает на краю, на ноте . Нота, находящаяся на чистую квинту выше, чем , это , которая не включена в показанную клавиатуру (хотя ее можно включить в более крупную клавиатуру, разместив справа от , тем самым сохраняя последовательный рисунок нот клавиатуры). Поскольку кнопки нет, при игре аккорда (открытой квинты) необходимо выбрать другую ноту, например, , вместо отсутствующей .
Условия на краю приводят к волчьим интервалам только в том случае, если изоморфная клавиатура имеет меньше кнопок на октаву, чем количество энгармонически различных нот в строе. Например, изоморфная клавиатура на рисунке 2 имеет 19 кнопок на октаву, поэтому вышеупомянутое крайнее условие от до не является волчьим интервалом в 12-тоновом равном темпераменте, 17-тоновом или 19-тоновом строе; однако это волчий интервал в 26-тоновом, 31-тоновом и 50-тоновом ET. В этих последних строях электронная транспозиция может удерживать ноты текущего тональности на белых кнопках изоморфной клавиатуры, так что эти волчьи интервалы очень редко будут встречаться в тональной музыке, несмотря на модуляцию в экзотические тональности. Изоморфные клавиатуры изоморфно демонстрируют инвариантные свойства среднетоновых строев синтонического темперамента (то есть, например, отображая заданный интервал с единой последовательной формой между кнопками в каждой октаве, тональности и строе), поскольку и изоморфная клавиатура, и темперамент являются двумерными (т.е. ранга 2) сущностями. Одномерные клавиатуры (где N – некоторое число) могут точно демонстрировать инвариантные свойства только одного одномерного строя, следовательно, одномерная клавиатура в стиле фортепиано с 12 клавишами на октаву может демонстрировать инвариантные свойства только одного строя: 12-тонового.
Когда чистая квинта имеет точно 700 центов ширины (то есть, настроена примерно на синтоническую запятую или точно на пифагорейскую запятую), строй идентичен знакомому 12-тоновому равному темпераменту. Это появляется в таблице выше, когда…
Из-за компромиссов (и волчьих интервалов), навязанных среднетоновым строям одномерной клавиатурой в стиле фортепиано, хорошо темперированные и, в конечном итоге, равный темперамент стали более популярными. Используя стандартные названия интервалов, двенадцать квинт равны шести октавам плюс одна увеличенная септима; семь октав равны одиннадцати квинтам плюс одна уменьшенная секста. Учитывая это, три "малые терции" фактически являются увеличенными секундами (например, от до ), а четыре "большие терции" фактически являются уменьшенными квартами (например, от до ). Некоторые трезвучия (например, и ) содержат оба этих интервала и имеют нормальные квинты.

A whole number of just perfect fifths will never add up to a whole number of octaves, because is an irrational number. If a stacked up whole number of perfect fifths is to close with the octave, then one of the intervals that is enharmonically equivalent to a fifth must have a different width than the other fifths. For example, to make a 12 note chromatic scale in Pythagorean tuning close at the octave, one of the fifth intervals must be lowered ("out of tune") by the Pythagorean comma; this altered fifth is called a "wolf fifth" because it sounds similar to a fifth in its interval size and seems like an out of tune fifth, but is actually a diminished sixth (e. g. between and ). Likewise, 11 of the 12 perfect fourths are also in tune, but the remaining fourth is an augmented third (rather than a true fourth). Wolf intervals are an artifact of keyboard design, and keyboard players using a key that is actually in tune with a different pitch than intended. This can be shown most easily using an isomorphic keyboard, such as that shown in Figure 2. On an isomorphic keyboard, any given musical interval has the same shape wherever it appears, except at the edges. Here's an example. On the keyboard shown in figure 2, from any given note, the note that's a perfect fifth higher is always upward and rightward adjacent to the given note. There are no wolf intervals within the note span of this keyboard. The problem is at the edge, on the note The note that's a perfect fifth higher than is , which is not included on the keyboard shown (although it could be included in a larger keyboard, placed just to the right of , hence maintaining the keyboard's consistent note pattern). Because there is no button, when playing an power chord (open fifth chord), one must choose some other note, such as , to play instead of the missing
Even edge conditions produce wolf intervals only if the isomorphic keyboard has fewer buttons per octave than the tuning has enharmonically distinct notes For example, the isomorphic keyboard in figure 2 has 19 buttons per octave, so the above cited edge condition, from to , is not a wolf interval in 12 tone equal temperament , 17 , or 19 ; however, it is a wolf interval in 26 , 31 , and 50 ET. In these latter tunings, using electronic transposition could keep the current key's notes on the isomorphic keyboard's white buttons, such that these wolf intervals would very rarely be encountered in tonal music, despite modulation to exotic keys. Isomorphic keyboards expose the invariant properties of the meantone tunings of the syntonic temperament isomorphically (that is, for example, by exposing a given interval with a single consistent inter button shape in every octave, key, and tuning) because both the isomorphic keyboard and temperament are two dimensional (i. e., rank 2) entities One dimensional keyboards (where N is some number) can expose accurately the invariant properties of only a single one dimensional tuning in hence, the one dimensional piano style keyboard, with 12 keys per octave, can expose the invariant properties of only one tuning: 12
When the perfect fifth is exactly 700 cents wide (that is, tempered by approximately of a syntonic comma, or exactly of a Pythagorean comma) then the tuning is identical to the familiar 12 tone equal temperament. This appears in the table above when

Because of the compromises (and wolf intervals) forced on meantone tunings by the one dimensional piano style keyboard, well temperaments and eventually equal temperament became more popular. Using standard interval names, twelve fifths equal six octaves plus one augmented seventh; seven octaves are equal to eleven fifths plus one diminished sixth. Given this, three "minor thirds" are actually augmented seconds (for example, to ), and four "major thirds" are actually diminished fourths (for example, to ). Several triads (like and ) contain both these intervals and have normal fifths.

Использование метонического темперамента

Ссылки на системы настройки, которые могли относиться к меантону, были опубликованы еще в 1496 году (Гаффурий). Арон (1523) недвусмысленно обсуждал четверть-комму, однако первые математически точные описания настройки меантона встречаются в трактатах позднего XVI века Зарлино и де Салинаса. Эти авторы описали системы меантона и другие. Фольяно упомянул систему четвертных комм, но не представил ее обсуждения. Разумеется, четверть-коммовую систему меантона (или любую другую систему меантона) невозможно было реализовать с полной точностью до гораздо более позднего времени, поскольку устройств, способных точно измерять частоты звуков, не существовало до середины XIX века. Однако настройщики могли использовать тот же метод, который использовали настройщики «на слух» вплоть до недавнего времени: восходить по квинтам и нисходить по октавам, или нисходить по квинтам и восходить по октавам, и «приглушать» квинты, чтобы они были «слегка» меньше, чем простые числовые отношения. Для 12-тоновой равнотемперированной настройки их нужно было бы приглушить чуть меньше, чем на , поскольку они должны образовывать идеальный цикл без коммы в конце, в то время как настройка меантона все еще содержит остаточную комму. Как настройщики могли надежно определить «четверть-комму» на слух – вопрос более тонкий. Поскольку это составляет около 0,3% частоты, что, вблизи средней (~264 Гц), составляет примерно один герц, они могли сделать это, используя идеальные квинты в качестве ориентира и регулируя приглушенный звук, чтобы получить биения с такой частотой. Однако частоту биений необходимо было бы слегка скорректировать пропорционально частоте ноты. В прошлом меантоновые темпераменты иногда использовались или упоминались под другими названиями или описаниями. Например, в 1691 году Гюйгенс описал эту общепринятую схему довольно точно, и очевидно, что это то, что сейчас называется четверть-коммовым темпераментом меантона. Хотя меантон наиболее известен как настройка, связанная с ранней музыкой эпохи Возрождения и барокко, есть свидетельства непрерывного использования меантона в качестве клавиатурного темперамента вплоть до середины XIX века. «Способ настройки, который преобладал до введения равного темперамента, называется системой меантона. Он едва ли еще исчез в Англии, поскольку его все еще можно услышать на нескольких органах в сельских церквях. По словам Дона Б. Йиньигеса, органиста Севильского собора, система меантона обычно поддерживается на испанских органах даже в настоящее время». — Г. Гроув (1890).

References to tuning systems that could possibly refer to meantone were published as early as 1496 (Gaffurius). Aron (1523) was unmistakably discussing quarter comma meantone, however, the first mathematically precise meantone tuning descriptions are found in late 16th century treatises by Zarlino and de Salinas. These authors both described the and meantone systems. Fogliano mentioned the quarter comma system, but offered no discussion of it. Of course, the quarter comma meantone system (or any other meantone system) could not have been implemented with complete accuracy until much later, since devices that could accurately measure pitch frequencies didn't exist until the mid 19th century. But tuners could use precisely the same method that "by ear" tuners have used until recently: Go up by fifths, and down by octaves, or down by fifths, and up by octaves, and "temper" the fifths so they are "slightly" smaller than just ratios. For 12 tone equally tempered tuning, they would have to be tempered by a little less than a since they must form a perfect cycle, with no comma at the end, whereas the meantone tuning still has a residual comma. How tuners could identify a "quarter comma" reliably by ear is a bit more subtle. Since this amounts to about 0.3% of the frequency which, near middle (~264 Hz), is about one hertz, they could do it by using perfect fifths as a reference and adjusting the tempered note to produce beats at this rate. However, the frequency of the beats would have to be slightly adjusted, proportionately to the frequency of the note. In the past, meantone temperaments were sometimes used or referred to under other names or descriptions. For example, in 1691 Huygens But Huygens' description of that conventional arrangement was quite precise, and is clearly what is now called quarter comma meantone temperament. Although meantone is best known as a tuning environment associated with earlier music of the Renaissance and Baroque, there is evidence of continuous usage of meantone as a keyboard temperament well into the middle of the 19th century. "The mode of tuning which prevailed before the introduction of equal temperament, is called the Meantone System. It has hardly yet died out in England, for it may still be heard on a few organs in country churches. According to Don B. Yñiguez, organist of Seville Cathedral, the meantone system is generally maintained on Spanish organs, even at the present day." — G. Grove (1890)

Темперамент меантона пережил значительный ренессанс в исполнительской практике ранней музыки в конце XX века и в недавно созданных произведениях, специально требующих меантона от композиторов, таких как Адамс, Лигети и Лиди.