Кіріспе
Толық және ортогональды көпмүшелер жүйесі
Лежандрдің гомогенді теңдеуі
Legendre's Homogeneous equation
Математикада Лежандр көпмүшелері, Адриен Мари Лежандрдің (1782) есімімен аталып, көптеген математикалық қасиеттері мен қолданыстары бар толық және ортогональды көпмүшелер жүйесі болып табылады. Оларды көптеген тәсілдермен анықтауға болады, ал әртүрлі анықтамалар түрлі аспектілерді көрсетеді, сондай-ақ әртүрлі математикалық құрылымдармен және физикалық және сандық қолданыстармен байланыстар мен жалпыламаларды ұсынады. Лежандр көпмүшелерімен тығыз байланысты қатарлас Лежандр көпмүшелері, Лежандр функциялары, екінші түріндегі Лежандр функциялары, үлкен q Лежандр көпмүшелері және қатарлас Лежандр функциялары бар.
Ортогональдық жүйе ретінде құрылымы бойынша анықтамасы
Бұл тәсілде көпмүшелер салмақ функциясына қатысты белгілі бір интервалда ортогональдық жүйе ретінде анықталады, яғни, бұл – дәрежесі n болатын көпмүше, сондықтан қосымша нормалау шартымен барлық көпмүшелерді бірегей түрде анықтауға болады. Содан кейін құрылыс процесі басталады: 0 дәрежелі бірден-бір дұрыс нормаланған көпмүше. Ол келесіге ортогоналды болуы керек, нәтижесінде, ал ортогональдықты талап ету арқылы анықталады және т.б. Бұл нормалаумен бірге ортогональдық талаптарының барлығы коэффициенттерді анықтайды. Осылайша, әрбір көпмүшенің барлық коэффициенттерін жүйелі түрде табуға болады, бұл төменде көрсетілген күштер арқылы нақты бейнелеуге әкеледі. Бұл көпмүшелерді анықтаудың ең қарапайым жолы. Ол дифференциалдық теңдеулер теориясына жүгінбейді. Екіншіден, көпмүшелердің толықтығы күштердің толықтығынан тікелей туындайды: 1, . Соңында, оларды шекті интервалдағы ең қарапайым салмақ функциясына қатысты ортогональдық арқылы анықтау Лежандр көпмүшелерін үш классикалық ортогональдық көпмүшелік жүйенің бірі ретінде белгілейді. Қалған екеуі – Лагерр көпмүшелері, жартылай сызықта ортогональды, және Эрмит көпмүшелері, толық сызықта ортогональды, олардың салмақ функциялары барлық интегралдардың жуысуын қамтамасыз ететін ең табиғи аналитикалық функциялар болып табылады.
With the additional standardization condition , all the polynomials can be uniquely determined. We then start the construction process: is the only correctly standardized polynomial of degree 0. must be orthogonal to , leading to , and is determined by demanding orthogonality to and , and so on. is fixed by demanding orthogonality to all with This gives conditions, which, along with the standardization fixes all coefficients in With work, all the coefficients of every polynomial can be systematically determined, leading to the explicit representation in powers of given below. This definition of the 's is the simplest one. It does not appeal to the theory of differential equations. Second, the completeness of the polynomials follows immediately from the completeness of the powers 1, Finally, by defining them via orthogonality with respect to the most obvious weight function on a finite interval, it sets up the Legendre polynomials as one of the three classical orthogonal polynomial systems. The other two are the Laguerre polynomials, which are orthogonal over the half line , and the Hermite polynomials, orthogonal over the full line , with weight functions that are the most natural analytic functions that ensure convergence of all integrals.
Нөлдер
Барлық нөлдер нақты, бір-бірінен өзгеше және [интервал] аралығында жатыр. Егер оларды [интервал] аралығын кіші аралықтарға бөлетін деп қарастырсақ, әрбір кіші аралықта дәл бір нөл болады. Бұл өзара орналасу қасиеті деп аталады. Жұптық қасиетіне сәйкес, егер -ның нөлі болса, де сондай-ақ нөл болады. Бұл нөлдер Гаусс квадраттауына негізделген сандық интеграцияда маңызды рөл атқарады. -ға негізделген нақты квадраттау Гаусс-Лежандр квадраттауы деп аталады. Осы қасиеттер мен деген фактілерден, -ның [интервал] аралығында жергілікті минимумдары мен максимумдары бар екені шығады. Балама ретінде, -ның нөлі бар.