Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Гиперболалық еуропалық емес геометрияның жоғарғы жарты жазықтық моделі
Upper half plane model of hyperbolic non Euclidean geometry
Еуропалық емес геометрияда, Поинкаре жарты жазықтық моделі – бұл жоғарғы жарты жазықтық, төменде H деп белгіленеді, және оны екі өлшемді гиперболалық геометрияның моделі ететін метрика, Поинкаре метрикасы. Балама ретінде, Поинкаре жарты жазықтық моделі кейде қиял бөлігі (жоғарыда аталған y координатасы) оң болатын комплекс жазықтық ретінде сипатталады. Поинкаре жарты жазықтық моделі Анри Поинкаренің есімімен аталады, бірақ оны Эухенио Белтрами Клейн моделімен және Поинкаре дискі моделімен бірге гиперболалық геометрияның еуропалық геометриямен теңдәрежелі екенін көрсету үшін қолданған. Бұл модель конформды, яғни нүктеде өлшенген бұрыштар модельдегідей нақты гиперболалық жазықтықта да бірдей болады. Кейли түрлендіруі жарты жазықтық модельі мен Поинкаре дискі модельі арасындағы изометрияны қамтамасыз етеді. Бұл модельді n өлшемді еуропалық векторлық кеңістіктегі вектормен нақты сан x-ті алмастыру арқылы n өлшемді гиперболалық кеңістікті модельдеу үшін жалпылауға болады.
In non Euclidean geometry, the Poincaré half plane model is the upper half plane, denoted below as H , together with a metric, the Poincaré metric, that makes it a model of two dimensional hyperbolic geometry. Equivalently the Poincaré half plane model is sometimes described as a complex plane where the imaginary part (the y coordinate mentioned above) is positive. The Poincaré half plane model is named after Henri Poincaré, but it originated with Eugenio Beltrami who used it, along with the Klein model and the Poincaré disk model, to show that hyperbolic geometry was equiconsistent with Euclidean geometry. This model is conformal which means that the angles measured at a point are the same in the model as they are in the actual hyperbolic plane. The Cayley transform provides an isometry between the half plane model and the Poincaré disk model. This model can be generalized to model an dimensional hyperbolic space by replacing the real number x by a vector in an n dimensional Euclidean vector space.
Компас және тік жиек конструкциялары
Мұнда модельдегі компас пен түзу сызғыш құрылыстарын гиперболалық жазықтықтағы негізгі құрылыстардың әсерін алу үшін қалай қолдануға болады. Мысалы, екі берілген нүкте арқылы гиперболалық жазықтықтағы түзуді модельдейтін Евклид жарты жазықтығындағы жарты шеңберді қалай салуға болады.
Here is how one can use compass and straightedge constructions in the model to achieve the effect of the basic constructions in the hyperbolic plane. For example, how to construct the half circle in the Euclidean half plane which models a line on the hyperbolic plane through two given points.
Екі бар нүкте арқылы сызықты құру
Екі нүктенің арасын қосатын сызық кесіндісін салыңыз. Сызық кесіндісінің орта перпендикулярын тұрғызыңыз. Оның x осімен қиылысқан нүктесін табыңыз. Берілген екі нүктеден өтетін, қиылысқан нүктесін орталық қабылдаған шеңберді салыңыз. X осінде немесе одан төмен жатқан бөлігін жойыңыз. Егер екі берілген нүкте тік сызықта орналасқан болса, онда сол тік сызықты екі нүкте арқылы салып, x осінде немесе одан төменгі бөлігін жойыңыз.
Draw the line segment between the two points. Construct the perpendicular bisector of the line segment. Find its intersection with the x axis. Draw the circle around the intersection which passes through the given points. Erase the part which is on or below the x axis. Or in the special case where the two given points lie on a vertical line, draw that vertical line through the two points and erase the part which is on or below the x axis.
Берілген шеңбердің ортасын табу
Евклидтік ортадан х осіне перпендикуляр түсіріңіз, оны р деп белгілейік. Осы түзу мен х осінің қиылыс нүктесін q деп атайық. q нүктесі арқылы шеңберге жанасатын түзуді салыңыз. q орталығынан өтетін және жанасу түзуі мен шеңбердің қиылыс нүктесі арқылы өтетін h жарты шеңберін салыңыз. (Гиперболалық) орталық – h және p түзулерінің қиылыс нүктесі.
Drop a perpendicular p from the Euclidean center of the circle to the x axis. Let point q be the intersection of this line and the x axis. Draw a line tangent to the circle going through q. Draw the half circle h with center q going through the point where the tangent and the circle meet. The (hyperbolic) center is the point where h and p intersect.
n өлшемді модель
Бұл модельді нақты сан x-ті n өлшемді Евклидтік векторлық кеңістіктегі вектормен алмастыру арқылы өлшемді гиперболалық кеңістікті модельдеуге обобщалағанға болады.
This model can be generalized to model an dimensional hyperbolic space by replacing the real number x by a vector in an n dimensional Euclidean vector space.