Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Верхняя полуплоскость как модель гиперболической неевклидовой геометрии
Upper half plane model of hyperbolic non Euclidean geometry
В неевклидовой геометрии модель полуплоскости Пуанкаре представляет собой верхнюю полуплоскость, обозначаемую ниже как H, вместе с метрикой, метрикой Пуанкаре, которая делает её моделью двумерной гиперболической геометрии. Эквивалентно, модель полуплоскости Пуанкаре иногда описывается как комплексная плоскость, в которой мнимая часть (координата y, упомянутая выше) положительна. Модель полуплоскости Пуанкаре названа в честь Анри Пуанкаре, но её истоки связаны с именем Эухенио Бельтрами, который использовал её, наряду с моделью Клейна и моделью диска Пуанкаре, чтобы показать, что гиперболическая геометрия эквивалентна евклидовой геометрии с точки зрения непротиворечивости. Эта модель конформна, что означает, что углы, измеряемые в точке, одинаковы как в модели, так и в реальной гиперболической плоскости. Преобразование Кэйли обеспечивает изометрию между моделью полуплоскости и моделью диска Пуанкаре. Эту модель можно обобщить для моделирования n-мерного гиперболического пространства, заменяя действительное число x вектором в n-мерном евклидовом векторном пространстве.
In non Euclidean geometry, the Poincaré half plane model is the upper half plane, denoted below as H , together with a metric, the Poincaré metric, that makes it a model of two dimensional hyperbolic geometry. Equivalently the Poincaré half plane model is sometimes described as a complex plane where the imaginary part (the y coordinate mentioned above) is positive. The Poincaré half plane model is named after Henri Poincaré, but it originated with Eugenio Beltrami who used it, along with the Klein model and the Poincaré disk model, to show that hyperbolic geometry was equiconsistent with Euclidean geometry. This model is conformal which means that the angles measured at a point are the same in the model as they are in the actual hyperbolic plane. The Cayley transform provides an isometry between the half plane model and the Poincaré disk model. This model can be generalized to model an dimensional hyperbolic space by replacing the real number x by a vector in an n dimensional Euclidean vector space.
Компасные и прямоугольные конструкции
Вот как можно использовать построения циркуля и линейки в модели, чтобы добиться эффекта основных построений в гиперболической плоскости. Например, как построить полукруг в евклидовой полуплоскости, моделирующей прямую на гиперболической плоскости, проходящую через две заданные точки.
Here is how one can use compass and straightedge constructions in the model to achieve the effect of the basic constructions in the hyperbolic plane. For example, how to construct the half circle in the Euclidean half plane which models a line on the hyperbolic plane through two given points.
Создание линии через две существующие точки
Нарисуйте отрезок между двумя точками. Постройте перпендикулярную биссектрису этого отрезка. Найдите точку пересечения биссектрисы с осью x. Опишите окружность вокруг этой точки пересечения, проходящую через заданные точки. Удалите часть окружности, лежащую на оси x или ниже неё. Или, в особом случае, когда две заданные точки лежат на вертикальной прямой, проведите эту вертикальную прямую через обе точки и удалите часть прямой, лежащую на оси x или ниже неё.
Draw the line segment between the two points. Construct the perpendicular bisector of the line segment. Find its intersection with the x axis. Draw the circle around the intersection which passes through the given points. Erase the part which is on or below the x axis. Or in the special case where the two given points lie on a vertical line, draw that vertical line through the two points and erase the part which is on or below the x axis.
Если дается круг, то найдите его (гиперболический) центр.
Опустите перпендикуляр p из евклидова центра окружности на ось x. Пусть точка q будет точкой пересечения этой прямой с осью x. Проведите касательную к окружности, проходящую через точку q. Постройте полуокружность h с центром в точке q, проходящую через точку касания касательной и окружности. (Гиперболический) центр – это точка пересечения полуокружности h и перпендикуляра p.
Drop a perpendicular p from the Euclidean center of the circle to the x axis. Let point q be the intersection of this line and the x axis. Draw a line tangent to the circle going through q. Draw the half circle h with center q going through the point where the tangent and the circle meet. The (hyperbolic) center is the point where h and p intersect.
Модель в n измерениях
Эта модель может быть обобщена для моделирования n-мерного гиперболического пространства путем замены действительного числа x на вектор в n-мерном евклидовом векторном пространстве.
This model can be generalized to model an dimensional hyperbolic space by replacing the real number x by a vector in an n dimensional Euclidean vector space.