Кіріспе

Сақинадағы сызықтық бейнелеу Алгебрада модуль гомоморфизмі — модульдер арасындағы модуль құрылымын сақтайтын функция. Нақтырақ айтқанда, егер M және N сақина R-дың сол модульдері болса, онда функция R модульді гомоморфизм немесе R сызықтық бейнелеуі деп аталады, егер кез келген x, y ∈ M және r ∈ R үшін

Басқаша айтқанда, f — негізгі қосымша топтар үшін топ гомоморфизмі, скалярлық көбейтумен өзгеріс жасайды. Егер M, N оң R модульдері болса, онда екінші шарт мынадай түрде өзгереді:

f бейнелеуі астындағы нөлдік элементтің кері бейнесі f ядросы деп аталады. M-ден N-ге дейінгі барлық модуль гомоморфизмдер жиынтығы нүктелік қосу бойынша абельдік топ ретінде белгіленеді, бірақ R коммутативті болмаса, міндетті түрде модуль болып табылмайды. Модуль гомоморфизмдерінің композициясы қайтадан модуль гомоморфизмі болып табылады, ал модульдегі сәйкестік бейнелеуі модуль гомоморфизмі болып табылады. Осылайша, барлық (мысалы, сол) модульдер және олардың арасындағы барлық модуль гомоморфизмдер модульдер санатын құрайды.

Терминология

Модульдік гомоморфизм, егер ол кері гомоморфизмге ие болса, модульдік изоморфизм деп аталады; әсіресе, ол биекция болады. Керісінше, биективті модульдік гомоморфизм изоморфизм екенін көрсетуге болады; яғни, керісі модульдік гомоморфизм болып табылады. Әсіресе, модульдік гомоморфизм, оның негізгі абельдік топтар арасындағы изоморфизм болған жағдайда ғана изоморфизм болып табылады. Изоморфизм теоремалары модульдік гомоморфизмдерге де қатысты қолданылады. М модулінің өзіне гомоморфизмі эндоморфизм, ал М модулінің өзіне изоморфизмі автоморфизм деп аталады. М модулінің барлық эндоморфизмдері жиыны End(M) деп белгіленеді. Бұл жиын тек абельдік топ ғана емес, сонымен қатар функциялардың композициясы арқылы анықталатын көбейтуге ие сақина, ол М модулінің эндоморфизм сақинасы деп аталады. Бұл сақинаның бірліктері тобы М модулінің автоморфизм тобы болып табылады.

Шур леммасы бойынша, қарапайым модульдер (тривиалды емес субмодульдері жоқ модульдер) арасындағы гомоморфизм нөлге тең немесе изоморфизм болуы керек. Әсіресе, қарапайым модульдің эндоморфизм сақинасы бөліну сақинасы болып табылады. Категориялар теориясының терминологиясында инъективті гомоморфизм мономорфизм, ал сюръективті гомоморфизм эпиморфизм деп те аталады.

Анықтама беру

Іс жүзінде модуль гомоморфизмі көбінесе оның генераторлық жиынтақтағы мәндерін анықтау арқылы беріледі. Нақтырақ айтқанда, M және N сол жақтан R модульдері болсын. Егер S жиыны M-ді генерацияласа, яғни S индекстелген негізі және K ядросы бар F еркін модулінің сюръекциясы болса (яғни, еркін көрсетілімі болса), онда модуль гомоморфизмін беру, K-ны жоятын модуль гомоморфизмін берумен бірдей (яғни, K-ны нөлге бейнелейді).

Шекті түрде құрылған модульдердің эндоморфизмдері

Коммутативті сақина R үшін шекті түрде жасалған R модульдері арасындағы эндоморфизм болсын. Онда оның М генераторларына қатысты сипаттамалық полиномымен жойылған болады; Накаяма леммасына қараңыз #Дәлел. Егер ол сюръективті болса, онда ол инъективті болады. Сондай-ақ қараңыз: Гербранд бөлігі (кейбір шектілік шарттары бар кез келген эндоморфизм үшін анықталуы мүмкін).

Түрі: қосылма қатынастар

M модулінен N модуліне аддитивті қатынас – бұл In субмодулі. Басқаша айтқанда, бұл M-нің кейбір субмодулінде анықталған "көпмәнді" гомоморфизм. f-тің керісі – бұл субмодуль. Кез келген аддитивті қатынас f, M-нің бір субмодулінен N-нің фактор-модуліне гомоморфизмді анықтайды, мұнда In M-дегі барлық x элементтерінен тұрады, осындай (x, y) жұбы N-дегі кейбір y үшін f-қа жатады.

Спектрлік тізбектен туындайтын трансгрессия – аддитивті қатынасқа мысал.