Введение

Линейное отображение над кольцом В алгебре, модульный гомоморфизм — это функция между модулями, сохраняющая структуру модуля. Явно, если M и N — левые модули над кольцом R, то функция f называется R-модульным гомоморфизмом или R-линейным отображением, если для любых x, y из M и r из R,

Другими словами, f является гомоморфизмом групп (для лежащих в основе аддитивных групп), который коммутирует со скалярным умножением. Если M и N — правые R-модули, то второе условие заменяется на

Прообраз нулевого элемента под действием f называется ядром f. Множество всех модульных гомоморфизмов из M в N обозначается как Hom(M, N). Это абелева группа (относительно поточечного сложения), но не обязательно модуль, если R некоммутативно. Композиция модульных гомоморфизмов снова является модульным гомоморфизмом, а тождественное отображение на модуле — модульным гомоморфизмом. Таким образом, все (например, левые) модули вместе со всеми модульными гомоморфизмами между ними образуют категорию модулей.

Терминология

Гомоморфизм модуля называется изоморфизмом модуля, если он имеет обратный гомоморфизм; в частности, это биекция. Обратно, можно показать, что биективный гомоморфизм модуля является изоморфизмом; то есть, обратное отображение является гомоморфизмом модуля. В частности, гомоморфизм модуля является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является изоморфизмом между лежащими в основе абелевыми группами. Теоремы об изоморфизмах справедливы для гомоморфизмов модулей. Гомоморфизм модуля из модуля M в себя называется эндоморфизмом, а изоморфизм из M в себя – автоморфизмом. Обозначают End(M) множество всех эндоморфизмов модуля M. Это не только абелева группа, но и кольцо с умножением, заданным композицией функций, называемое кольцом эндоморфизмов M. Группа обратимых элементов этого кольца является группой автоморфизмов M.

Лемма Шура утверждает, что гомоморфизм между простыми модулями (модулями без нетривиальных подмодулей) должен быть либо нулевым, либо изоморфизмом. В частности, кольцо эндоморфизмов простого модуля является областью целостности. На языке теории категорий инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом, а сюръективный гомоморфизм – эпиморфизмом.

Определение

На практике гомоморфизм модуля часто определяется указанием его значений на порождающем множестве. Более точно, пусть M и N — левые R-модули. Предположим, что подмножество S порождает M, то есть существует сюръекция из свободного модуля F с базисом, индексированным S, в M с ядром K (то есть задана свободная презентация). Тогда задание гомоморфизма модуля φ: M → N эквивалентно заданию гомоморфизма модуля φ': F → N, который обращает K в нуль (то есть отображает K в ноль).

Эндоморфизмы конечно сгенерированных модулей

Пусть φ будет эндоморфизмом между конечно порожденными R-модулями для коммутативного кольца R. Тогда φ уничтожается своим характеристическим полиномом относительно образующих M; см. Лемму Накаямы # Доказательство. Если φ сюръективен, то он инъективен. См. также: частное от деления Гербранда (которое может быть определено для любого эндоморфизма при некоторых условиях конечности).

Вариант: аддитивные отношения

Аддитивное отношение из модуля M в модуль N является подмодулем произведения M × N. Другими словами, это "многозначное" отображение, определенное на некотором подмодуле M. Образ обратного отображения f – это подмодуль N. Любое аддитивное отношение f определяет гомоморфизм из подмодуля M в фактормодуль N, где состоит из всех элементов x в M таких, что (x, y) принадлежит f для некоторого y в N.

Трансгрессия, возникающая из спектральной последовательности, является примером аддитивного отношения.