Кіріспе
Геометрия / топологиядағы ұғым. Метрикалық кеңістіктерді математикалық зерттеуде кеңістіктегі жолдардың доға ұзындығын қарастыруға болады. Егер екі нүкте бір-бірінен белгілі бір қашықтықта болса, онда бірінші нүктеден екінші нүктеге осы қашықтыққа тең (немесе оған өте жақын) доға ұзындығымен жолмен жетуге болады деп күту табиғи. Метрикалық кеңістіктің екі нүктесі арасындағы ішкі метрикаға қатысты қашықтық – бірінші нүктеден екінші нүктеге дейінгі барлық жолдар ұзындығының инфимумы ретінде анықталады. Метрикалық кеңістік, егер ішкі метрика кеңістіктің бастапқы метрикасымен сәйкес келсе, ұзындық метрикалық кеңістік деп аталады. Егер кеңістік, ұзындығының инфимумын қамтитын жолдың (геодезиялық) әрқашан бар екендігіне байланысты күшті қасиетке ие болса, онда оны геодезиялық метрикалық кеңістік немесе геодезиялық кеңістік деп атайды. Мысалы, Евклид жазықтығы – геодезиялық кеңістік, оның геодезиялықтары түзу кесінділері болып табылады. Тек қана координаталық басы алынып тасталған Евклид жазықтығы геодезиялық емес, бірақ бәрібір ұзындық метрикалық кеңістік болып табылады.
In the mathematical study of metric spaces, one can consider the arclength of paths in the space. If two points are at a given distance from each other, it is natural to expect that one should be able to get from the first point to the second along a path whose arclength is equal to (or very close to) that distance. The distance between two points of a metric space relative to the intrinsic metric is defined as the infimum of the lengths of all paths from the first point to the second. A metric space is a length metric space if the intrinsic metric agrees with the original metric of the space. If the space has the stronger property that there always exists a path that achieves the infimum of length (a geodesic) then it is called a geodesic metric space or geodesic space. For instance, the Euclidean plane is a geodesic space, with line segments as its geodesics. The Euclidean plane with the origin removed is not geodesic, but is still a length metric space.
Мысалдар
Евклидтік кеңістік – қалыпты Евклидтік метрикасы бар жолдық метрикалық кеңістік. Сонымен қатар, ол да жақсы. Евклидтік метрикадан мұрагерлік алған метрикасы бар бірлік шеңбер (хордалық метрика) жолдық метрикалық кеңістік емес. Индукцияланған ішкі метрика қашықтықты радиандармен өлшенген бұрыштар ретінде анықтайды, ал нәтижедегі ұзындық метрикалық кеңістік Риманн шеңбері деп аталады. Екі өлшемде шардың хордалық метрикасы ішкі емес, ал индукцияланған ішкі метрика үлкен шеңбер қашықтығымен беріледі. Кез келген байланысты Риманн манифольді екі нүктені жалғастыратын тегіс дифференциалданатын қисықтардың ұзындықтарының инфимумын екі нүктенің арақашықтығы ретінде анықтап, жолдық метрикалық кеңістікке айналдырылуы мүмкін. (Риманн құрылымы мұндай қисықтардың ұзындығын анықтауға мүмкіндік береді.) Сол сияқты, ұзындығы анықталған басқа манифольдтарға Финслер манифольдтары және субриманн манифольдтары жатады. Кез келген толық және дөңес метрикалық кеңістік – бұл Карл Менгердің нәтижесі бойынша ұзындық метрикалық кеңістік. Алайда, керісінше дұрыс емес, яғни дөңес емес ұзындық метрикалық кеңістіктер бар.
Қасиеттері
Жалпы, бізде бар және осымен анықталған топология, осымен анықталған топологиядан әрқашан нақтырақ немесе тең болады. кеңістігі әрқашан жол метрикалық кеңістік болып табылады (жоғарыда айтылғандай, шексіз болуы мүмкін ескертумен). Ұзындық кеңістігінің метрикасы шамамен орта нүктелерге ие. Керісінше, шамамен орта нүктелері бар кез келген толық метрикалық кеңістік – ұзындық кеңістігі. Хопф-Риноу теоремасы былай гласиды: егер ұзындық кеңістігі толық және жергілікті жиынтық болса, онда оның кез келген екі нүктесін минималды геодезиялықпен қосуға болады және оның барлық шектелген жабық жиындары жиынтық болады.