Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Понятие в геометрии/топологии
Concept in geometry/topology
В математическом изучении метрических пространств можно рассматривать длину дуги путей в этом пространстве. Если две точки находятся на заданном расстоянии друг от друга, естественно предположить, что можно перейти от первой точки ко второй по пути, длина дуги которого равна (или очень близка) этому расстоянию. Расстояние между двумя точками метрического пространства относительно внутренней метрики определяется как инфимум длин всех путей, соединяющих первую и вторую точки. Метрическое пространство называется пространством длины, если внутренняя метрика совпадает с исходной метрикой пространства. Если пространство обладает более сильным свойством, заключающимся в том, что всегда существует путь, достигающий инфимума длины (геодезическая), то оно называется геодезическим метрическим пространством или геодезическим пространством. Например, евклидова плоскость является геодезическим пространством, где геодезическими служат отрезки прямых. Евклидова плоскость с удалённой точкой начала координат не является геодезической, но всё ещё остаётся пространством длины.
In the mathematical study of metric spaces, one can consider the arclength of paths in the space. If two points are at a given distance from each other, it is natural to expect that one should be able to get from the first point to the second along a path whose arclength is equal to (or very close to) that distance. The distance between two points of a metric space relative to the intrinsic metric is defined as the infimum of the lengths of all paths from the first point to the second. A metric space is a length metric space if the intrinsic metric agrees with the original metric of the space. If the space has the stronger property that there always exists a path that achieves the infimum of length (a geodesic) then it is called a geodesic metric space or geodesic space. For instance, the Euclidean plane is a geodesic space, with line segments as its geodesics. The Euclidean plane with the origin removed is not geodesic, but is still a length metric space.
Примеры
Евклидово пространство с обычной евклидовой метрикой является пространством с метрикой пути. То же справедливо и для других пространств. Единичная окружность с метрикой, унаследованной от евклидовой метрики (хордальной метрики), не является пространством с метрикой пути. Индуцированная внутренняя метрика на окружности измеряет расстояния в радианах, а полученное пространство длины называется римановым кругом. В двух измерениях хордальная метрика на сфере не является внутренней, а индуцированная внутренняя метрика задается расстоянием по большой окружности. Любое связное риманово многообразие можно превратить в пространство с метрикой пути, определив расстояние между двумя точками как инфимум длин гладких кривых, соединяющих эти точки. (Риманова структура позволяет определить длину таких кривых.) Аналогично, другие многообразия, в которых определена длина, включают многообразия Финслера и подримановы многообразия. Любое полное и выпуклое метрическое пространство является пространством длины, что является результатом Карла Менгера. Однако обратное неверно, то есть существуют пространства длины, которые не являются выпуклыми.
Euclidean space with the ordinary Euclidean metric is a path metric space. is as well. The unit circle with the metric inherited from the Euclidean metric of (the chordal metric) is not a path metric space. The induced intrinsic metric on measures distances as angles in radians, and the resulting length metric space is called the Riemannian circle. In two dimensions, the chordal metric on the sphere is not intrinsic, and the induced intrinsic metric is given by the great circle distance. Every connected Riemannian manifold can be turned into a path metric space by defining the distance of two points as the infimum of the lengths of continuously differentiable curves connecting the two points. (The Riemannian structure allows one to define the length of such curves.) Analogously, other manifolds in which a length is defined included Finsler manifolds and sub Riemannian manifolds. Any complete and convex metric space is a length metric space , a result of Karl Menger. However, the converse does not hold, i. e. there exist length metric spaces that are not convex.
Свойства
В общем случае, у нас есть , и топология, определенная им, поэтому всегда тоньше или равна топологии, определенной . Пространство всегда является метрическим пространством с путем (с оговоркой, как упоминалось выше, что может быть бесконечным). Метрика пространства длины имеет приближенные середины. Обратно, любое полное метрическое пространство с приближенными серединами является пространством длины. Теорема Хопфа — Риноу утверждает, что если пространство длины является полным и локально компактным, то любые две точки в нем могут быть соединены минимизирующей геодезической, и все ограниченные замкнутые множества в нем компактны.
In general, we have and the topology defined by is therefore always finer than or equal to the one defined by The space is always a path metric space (with the caveat, as mentioned above, that can be infinite). The metric of a length space has approximate midpoints. Conversely, every complete metric space with approximate midpoints is a length space. The Hopf–Rinow theorem states that if a length space is complete and locally compact then any two points in can be connected by a minimizing geodesic and all bounded closed sets in are compact.