Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Кез келген жерде, нөлдік өлшемді жиынды қоспағанда
Everywhere except a set of measure zero
Өлшем теориясында (математикалық талдаудың бір саласы), егер техникалық мағынада қасиеттің орындалатын жиыны барлық мүмкіндіктердің дерлік барлығын қамтитын болса, қасиет дерлік әр жерде орындалады делінеді. "Дерлік әр жерде" ұғымы нөлдік өлшем ұғымымен байланысты және ықтималдық теориясындағы "дерлік сөзсіз" ұғымына ұқсас. Нақтырақ айтқанда, қасиет дерлік әр жерде орындалады, егер ол нөлдік өлшемді кіші жиынды қоспағанда, жиынның барлық элементтері үшін орындалса, немесе қасиет орындалатын элементтер жиыны толық өлшемді болса. Егер өлшем толық болмаса, жиын нөлдік өлшемді жиынның ішінде орналасқандығы жеткілікті. Нақты сандар жиыны туралы сөз болғанда, басқаша көрсетілмесе, Лебег өлшемі қолданылады деп есептеледі. "Дерлік әр жерде" термині а. е. деп қысқартылады; ескі әдебиеттерде p. p. қолданылады, бұл француз тіліндегі presque partout сөз тіркесімен теңдес. Толық өлшемді жиын – бұл жиынның толықтыруы нөлдік өлшемді жиын болып табылады. Ықтималдық теориясында "дерлік сөзсіз", "дерлік нақты" және "дерлік әрқашан" терминдері 1-ге тең ықтималдығы бар оқиғаларды білдіреді, бірақ міндетті түрде барлық нәтижелерді қамтымайды. Бұл ықтималдық кеңістігіндегі толық өлшемді жиын болып табылады. Кейде қасиет дерлік әр жерде орындалады деп айтудың орнына, қасиет дерлік барлық элементтер үшін орындалады деп айтылады (бірақ "дерлік барлық" терминінің басқа мағыналары да болуы мүмкін).
In measure theory (a branch of mathematical analysis), a property holds almost everywhere if, in a technical sense, the set for which the property holds takes up nearly all possibilities. The notion of "almost everywhere" is a companion notion to the concept of measure zero, and is analogous to the notion of almost surely in probability theory. More specifically, a property holds almost everywhere if it holds for all elements in a set except a subset of measure zero, or equivalently, if the set of elements for which the property holds is conull. In cases where the measure is not complete, it is sufficient that the set be contained within a set of measure zero. When discussing sets of real numbers, the Lebesgue measure is usually assumed unless otherwise stated. The term almost everywhere is abbreviated a. e.; in older literature p. p. is used, to stand for the equivalent French language phrase presque partout. A set with full measure is one whose complement is of measure zero. In probability theory, the terms almost surely, almost certain and almost always refer to events with probability 1 not necessarily including all of the outcomes. These are exactly the sets of full measure in a probability space. Occasionally, instead of saying that a property holds almost everywhere, it is said that the property holds for almost all elements (though the term almost all can also have other meanings).
Анықтама
Егер (X, Σ, μ) өлшем кеңістігі болса, онда қасиет P дерлік барлық жерде орындалады делінеді, егер мөлшері μ(A) = 0 болатын A жиыны болса, және X\A жиынындағы барлық x элементтері P қасиетін қанағаттандырса. Осыны "дерлік барлық нүктелер P қасиетін қанағаттандырады" немесе "дерлік барлық x үшін P орындалады" деп те айтуға болады. A жиынының мөлшері 0 болуы міндетті емес; ол Σ-ға жата бермейді. Жоғарыдағы анықтама бойынша, P қасиеті мөлшері 0 болатын және өлшенетін кейбір B жиынына кіргені жеткілікті.
If is a measure space, a property is said to hold almost everywhere in if there exists a set with , and all have the property Another common way of expressing the same thing is to say that "almost every point satisfies ", or that "for almost every , holds". It is not required that the set has measure 0; it may not belong to By the above definition, it is sufficient that be contained in some set that is measurable and has measure 0.
Қасиеттері
Егер бір қасиет дерлік барлық жерде орындалса және екінші қасиетті білдірсе, онда екінші қасиет дерлік барлық жерде орындалады. Бұл өлшемдердің монотондығынан туындайды. Егер қасиеттердің шекті немесе саналатын тізбегі болса, олардың әрқайсысы дерлік барлық жерде орындалса, онда олардың біріктірілуі дерлік барлық жерде орындалады. Бұл өлшемдердің санаулы қосымшалығынан көрінеді. Керісінше, егер қасиеттердің санаусыз жиыны болса, олардың әрқайсысы дерлік барлық жерде орындалса, онда олардың біріктірілуі міндетті түрде дерлік барлық жерде орындалмайды. Мысалы, егер - Лебег өлшемі болса және - -қа тең болмау қасиеті болса (яғни тура болса және тек қана егер болса), онда әрбір дерлік барлық жерде орындалады, бірақ біріктірілуі ешқандай жерде орындалмайды. Бұл екі қасиеттің салдарынан, өлшем кеңістігінің "дерлік барлық нүктелері" туралы ойлау абстракция емес, қарапайым нүктелер ретінде мүмкін. Бұл көбінесе бейресми математикалық дәлелдерде жасырын түрде жасалады. Дегенмен, жоғарыдағы үшінші тұжырымның салдарынан, осы ойлау тәсіліне абай болу керек: санаусыз мәлімдемелер жиыны бойынша жалпылама квантификация қарапайым нүктелер үшін жарамды, бірақ "дерлік барлық нүктелер үшін" емес.
If property holds almost everywhere and implies property , then property holds almost everywhere. This follows from the monotonicity of measures. If is a finite or a countable sequence of properties, each of which holds almost everywhere, then their conjunction holds almost everywhere. This follows from the countable sub additivity of measures. By contrast, if is an uncountable family of properties, each of which holds almost everywhere, then their conjunction does not necessarily hold almost everywhere. For example, if is Lebesgue measure on and is the property of not being equal to (i. e. is true if and only if ), then each holds almost everywhere, but the conjunction does not hold anywhere. As a consequence of the first two properties, it is often possible to reason about "almost every point" of a measure space as though it were an ordinary point rather than an abstraction. This is often done implicitly in informal mathematical arguments. However, one must be careful with this mode of reasoning because of the third bullet above: universal quantification over uncountable families of statements is valid for ordinary points but not for "almost every point".
Мысалдар
Егер f: R → R Лебег интегралдайтын функция болса және дерлік барлық жерде болса, онда барлық нақты сандар үшін теңдік орындалады, егер және тек қана дерлік барлық жерде болса. Егер f: [a, b] → R монотонды функция болса, онда f дерлік барлық жерде дифференциалданады. Егер f: R → R Лебег өлшенетін болса және барлық нақты сандар үшін , онда f-ке тәуелді E жиынтығы бар, егер x E-де болса, онда Лебег орташасы f(x)-ке жақындайды, егер нөлге дейін азайса. E жиынтығы f-тің Лебег жиынтығы деп аталады. Оның толықтығы нөлдік өлшемге ие екені дәлелденеді. Басқаша айтқанда, f-тің Лебег орташасы дерлік барлық жерде f-ке жақындайды. [a, b] → 'R' шектелген функциясы Риман интегралданатындығы және тек қана дерлік барлық жерде үздіксіз болғанда ғана орындалады. Қызықты факт ретінде, [0, 1] аралығындағы дерлік барлық нақты сандардың ондық кеңейтуінде Шекспирдің пьесаларының ASCII кодталған толық мәтіні кездеседі; сондай-ақ, кез келген басқа шекті цифрлар тізбегі үшін Нормаль сан қараңыз.
If f : R → R is a Lebesgue integrable function and almost everywhere, then for all real numbers with equality if and only if almost everywhere. If f : [a, b] → R is a monotonic function, then f is differentiable almost everywhere. If f : R → R is Lebesgue measurable and for all real numbers , then there exists a set E (depending on f) such that, if x is in E, the Lebesgue mean converges to f(x) as decreases to zero. The set E is called the Lebesgue set of f. Its complement can be proved to have measure zero. In other words, the Lebesgue mean of f converges to f almost everywhere. A bounded function f : [a, b] → 'R' is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere. As a curiosity, the decimal expansion of almost every real number in the interval [0, 1] contains the complete text of Shakespeare's plays, encoded in ASCII; similarly for every other finite digit sequence, see Normal number.