Введение
В теории меры (область математического анализа) свойство выполняется почти всюду, если множество, для которого оно выполняется, занимает почти все возможности в техническом смысле. Понятие "почти всюду" тесно связано с понятием меры ноль и аналогично понятию "почти достоверно" в теории вероятностей. Более точно, свойство выполняется почти всюду, если оно выполняется для всех элементов множества, за исключением подмножества меры ноль, или, что эквивалентно, если множество элементов, для которых свойство выполняется, является конулом. В случаях, когда мера неполна, достаточно, чтобы множество было содержалось в множестве меры ноль. При рассмотрении множеств вещественных чисел обычно подразумевается мера Лебега, если не указано иное. Термин "почти всюду" сокращается как "п.в."; в старой литературе использовалось обозначение "п.п.", соответствующее французской фразе "presque partout". Множество с полной мерой – это множество, дополнение которого имеет меру ноль. В теории вероятностей термины "почти достоверно", "почти наверняка" и "почти всегда" относятся к событиям с вероятностью 1, не обязательно включающим все исходы. Это в точности множества полной меры в вероятностном пространстве. Иногда вместо утверждения, что свойство выполняется почти всюду, говорят, что оно выполняется почти для всех элементов (хотя термин "почти все" может иметь и другие значения).
In measure theory (a branch of mathematical analysis), a property holds almost everywhere if, in a technical sense, the set for which the property holds takes up nearly all possibilities. The notion of "almost everywhere" is a companion notion to the concept of measure zero, and is analogous to the notion of almost surely in probability theory. More specifically, a property holds almost everywhere if it holds for all elements in a set except a subset of measure zero, or equivalently, if the set of elements for which the property holds is conull. In cases where the measure is not complete, it is sufficient that the set be contained within a set of measure zero. When discussing sets of real numbers, the Lebesgue measure is usually assumed unless otherwise stated. The term almost everywhere is abbreviated a. e.; in older literature p. p. is used, to stand for the equivalent French language phrase presque partout. A set with full measure is one whose complement is of measure zero. In probability theory, the terms almost surely, almost certain and almost always refer to events with probability 1 not necessarily including all of the outcomes. These are exactly the sets of full measure in a probability space. Occasionally, instead of saying that a property holds almost everywhere, it is said that the property holds for almost all elements (though the term almost all can also have other meanings).
Определение
Если $(X, \Sigma, \mu)$ – пространство с мерой, то свойство $P$ называется почти всюду истинным на $X$, если существует множество $N \in \Sigma$ такое, что $\mu(N) = 0$, и все $x \in X \setminus N$ обладают свойством $P$. Другой распространенный способ выразить то же самое – сказать, что "почти каждая точка удовлетворяет $P$", или что "для почти всех $x$ выполняется $P$". Не требуется, чтобы множество $N$ имело меру 0; оно может и не принадлежать $\Sigma$. Согласно вышеприведенному определению, достаточно, чтобы $X \setminus N$ содержалось в некотором измеримом множестве $A$ с мерой $\mu(A) = 0$.
Свойства
Если свойство выполняется почти всюду и влечёт за собой свойство , то свойство выполняется почти всюду. Это следует из монотонности мер. Если является конечной или счётной последовательностью свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их конъюнкция выполняется почти всюду. Это следует из счётной субаддитивности мер. Напротив, если является несчётным семейством свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их конъюнкция не обязательно выполняется почти всюду. Например, если — мера Лебега на , а — свойство не равенства (то есть истинно, если и только если ), то каждое выполняется почти всюду, но конъюнкция не выполняется нигде. Как следствие первых двух свойств, часто можно рассуждать о "почти каждой точке" измеримого пространства так, как будто это обычная точка, а не абстракция. Это часто делается неявно в неформальных математических рассуждениях. Однако следует быть осторожным с таким способом рассуждения из-за третьего пункта выше: всеобщая квантификация по несчётным семействам утверждений верна для обычных точек, но не для "почти каждой точки".
Примеры
Если f : R → R – функция, интегрируемая по Лебегу, и почти всюду, то для всех действительных чисел с равенством тогда и только тогда, когда почти всюду. Если f : [a, b] → R – монотонная функция, то f дифференцируема почти всюду. Если f : R → R – измеримая по Лебегу функция и для всех действительных чисел , то существует множество E (зависящее от f), такое, что если x принадлежит E, то среднее Лебега сходится к f(x) при стремлении к нулю. Множество E называется множеством Лебега функции f. Доказано, что мера его дополнения равна нулю. Иными словами, среднее Лебега функции f сходится к f почти всюду. Ограниченная функция f : [a, b] → R интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду. Как любопытный факт, десятичное разложение почти каждого вещественного числа в интервале [0, 1] содержит полный текст пьес Шекспира, закодированный в ASCII; аналогично для любой другой конечной последовательности цифр, см. Нормальное число.