Кіріспе
Модуль, осылайша шексіз сызықтық теңдеулер жүйесі шекті қосалқы жүйелерді шешу арқылы шығарыла алады. Математикада алгебралық тұғырлы модульдер, сондай-ақ таза инъективті модульдер деп аталатын модульдер, белгілі бір "қалай берілген" қасиетке ие, ол модульдегі шексіз теңдеулер жүйесін шекті амалдармен шешуге мүмкіндік береді. Осы жүйелердің шешімдері модульдік гомоморфизмдердің белгілі бір түрлерін кеңейтуге ықпал етеді. Бұл алгебралық тұғырлы модульдер инъективті модульдерге ұқсас, онда барлық модульдік гомоморфизмдерді кеңейтуге болады. Барлық инъективті модульдер алгебралық тұғырлы, ал екеуінің арасындағы ұқсастық категорияға ендіру арқылы нақты бейнеленеді.
In mathematics, algebraically compact modules, also called pure injective modules, are modules that have a certain "nice" property which allows the solution of infinite systems of equations in the module by finitary means. The solutions to these systems allow the extension of certain kinds of module homomorphisms. These algebraically compact modules are analogous to injective modules, where one can extend all module homomorphisms. All injective modules are algebraically compact, and the analogy between the two is made quite precise by a category embedding.
Анықтамалар
R - сақина, M - сол R модулі. I және J жиындары шексіз болуы мүмкін, шексіз санды сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық, мұнда әр i үшін нөлдік емес мүшелердің саны шекті. Мақсат – мұндай жүйеде шешім бар ма, жоқ па, яғни жүйедегі барлық теңдеулерді бір мезгілде қанағаттандыратын M элементтері xj бар ма, жоқ па, соны анықтау. (xj-дің тек шекті саны ғана нөлдік емес болуы міндетті емес.) M модулі алгебралық тұрғыдан жиынтық болса, онда барлық мұндай жүйелер үшін, егер теңдеулердің кез келген шекті санынан құралған ішкі жүйеде шешім болса, онда бүкіл жүйеде де шешім болады. (Әртүрлі ішкі жүйелерге әртүрлі шешімдер болуы мүмкін.) Екінші жағынан, модульдік гомоморфизм M → K таза ендіру болып табылады, егер C ⊗ M → C ⊗ K тензорлық көбейтінділері арасындағы туындаған гомоморфизм кез келген оң R модулі C үшін инъективті болса. Егер кез келген таза инъективті гомоморфизм j : M → K бөлінетін болса (яғни f : K → M гомоморфизмі бар болса), модуль M таза инъективті болады. Модуль алгебралық тұрғыдан жиынтық болса және тек қана таза инъективті болса ғана.
where both sets I and J may be infinite, and for each i the number of nonzero is finite. The goal is to decide whether such a system has a solution, that is whether there exist elements xj of M such that all the equations of the system are simultaneously satisfied. (It is not required that only finitely many xj are non zero.) The module M is algebraically compact if, for all such systems, if every subsystem formed by a finite number of the equations has a solution, then the whole system has a solution. (The solutions to the various subsystems may be different.) On the other hand, a module homomorphism M → K is a pure embedding if the induced homomorphism between the tensor products C ⊗ M → C ⊗ K is injective for every right R module C. The module M is pure injective if any pure injective homomorphism j : M → K splits (that is, there exists f : K → M with ). It turns out that a module is algebraically compact if and only if it is pure injective.
Мысалдар
Барлық элементтері шекті санды модульдер алгебралық тұрғыдан тығыз. Кез келген векторлық кеңістік алгебралық тұрғыдан тығыз (өйткені ол таза инъективті). Жалпы алғанда, кез келген инъективтік модуль де сол себепті алгебралық тұрғыдан тығыз. Егер R – 1-ге ие болған k өрісіндегі ассоциативтік алгебра болса, онда к өлшемді кез келген R модуль алгебралық тұрғыдан тығыз болады. Бұл, барлық шекті модульдер алгебралық тұрғыдан тығыз екендігімен бірге, алгебралық тұрғыдан тығыз модульдердің «кіші» модульдердің жақсы қасиеттерін бөлісетін (мүмкін «үлкен») модульдер екендігі туралы түсінік тудырады. Пруфер топтары алгебралық тұрғыдан тығыз Абель топтары (яғни Z модульдері). Кез келген p үшін p-адық бүтін сандар сақинасы өзінің үстіндегі және Z-дің үстіндегі модуль ретінде алгебралық тұрғыдан тығыз. Рационалдық сандар Z модулі ретінде алгебралық тұрғыдан тығыз. Z үстіндегі бөлгішсіз шекті модульдермен бірге, бұл бөлгішсіз алгебралық тұрғыдан тығыз модульдердің толық тізімі. Көптеген алгебралық тұрғыдан тығыз модульдерді Абель топтарының Q/Z инъективтік когенераторын пайдаланып жасауға болады. Егер H – R сақинасының үстіндегі оң модуль болса, онда H-тен Q/Z-ге дейінгі барлық топтық гомоморфизмдерден тұратын (алгебралық) таңба модулі H* құралады. Бұл сол R модулі, ал * операциясы оң R модульдерінен сол R модульдеріне адал контравариант функторын береді. H* түріндегі кез келген модуль алгебралық тұрғыдан тығыз. Сонымен қатар, H → H**, H бойынша табиғи таза инъективтік гомоморфизмдер бар. Көбінесе мәселені шешу үшін бірінші кезекте * функторын қолдануға болады, өйткені алгебралық тұрғыдан тығыз модульдермен жұмыс істеу оңайырақ.