Введение
Модуль, позволяющий решать бесконечные системы линейных уравнений путем решения конечных подсистем. В математике алгебраически компактные модули, также называемые чисто инъективными модулями, — это модули, обладающие определенным "удобным" свойством, которое позволяет решать бесконечные системы уравнений в этом модуле с помощью конечных методов. Решения этих систем позволяют расширять определенные типы гомоморфизмов модулей. Эти алгебраически компактные модули аналогичны инъективным модулям, в которых можно расширять любые гомоморфизмы модулей. Все инъективные модули являются алгебраически компактными, и аналогия между ними достаточно точно выражается посредством вложения категорий.
In mathematics, algebraically compact modules, also called pure injective modules, are modules that have a certain "nice" property which allows the solution of infinite systems of equations in the module by finitary means. The solutions to these systems allow the extension of certain kinds of module homomorphisms. These algebraically compact modules are analogous to injective modules, where one can extend all module homomorphisms. All injective modules are algebraically compact, and the analogy between the two is made quite precise by a category embedding.
Определения
Пусть R – кольцо, а M – левый R-модуль. Рассмотрим систему бесконечного числа линейных уравнений, где множества I и J могут быть бесконечными, и для каждого i число ненулевых слагаемых конечно. Цель состоит в том, чтобы определить, имеет ли такая система решение, то есть существуют ли элементы xj из M, такие что все уравнения системы выполняются одновременно. (Не требуется, чтобы только конечное число xj было ненулевым.) Модуль M называется алгебраически компактным, если для всех таких систем, если любая подсистема, состоящая из конечного числа уравнений, имеет решение, то и вся система имеет решение. (Решения для различных подсистем могут отличаться.) С другой стороны, гомоморфизм модулей M → K является чистым вложением, если индуцированный гомоморфизм между тензорными произведениями C ⊗ M → C ⊗ K инъективен для каждого правого R-модуля C. Модуль M называется чисто инъективным, если любой чистый инъективный гомоморфизм j : M → K расщепляется (то есть существует гомоморфизм f : K → M такой, что f∘j = id_M). Оказывается, что модуль алгебраически компактен тогда и только тогда, когда он чисто инъективен.
where both sets I and J may be infinite, and for each i the number of nonzero is finite. The goal is to decide whether such a system has a solution, that is whether there exist elements xj of M such that all the equations of the system are simultaneously satisfied. (It is not required that only finitely many xj are non zero.) The module M is algebraically compact if, for all such systems, if every subsystem formed by a finite number of the equations has a solution, then the whole system has a solution. (The solutions to the various subsystems may be different.) On the other hand, a module homomorphism M → K is a pure embedding if the induced homomorphism between the tensor products C ⊗ M → C ⊗ K is injective for every right R module C. The module M is pure injective if any pure injective homomorphism j : M → K splits (that is, there exists f : K → M with ). It turns out that a module is algebraically compact if and only if it is pure injective.
Примеры
Все модули с конечным числом элементов алгебраически компактны. Каждое векторное пространство алгебраически компактно (поскольку оно чисто инъективно). В более общем случае, каждый инъективный модуль алгебраически компактен, по той же причине. Если R — ассоциативная алгебра с единицей над некоторым полем k, то каждый R-модуль с конечной k-размерностью алгебраически компактен. Это, вместе с тем фактом, что все конечные модули алгебраически компактны, порождает интуицию, что алгебраически компактные модули — это те (возможно, "большие") модули, которые обладают хорошими свойствами "малых" модулей. Группы Пруфера — алгебраически компактные абелевы группы (то есть Z-модули). Кольцо p-адических целых чисел для каждого простого числа p алгебраически компактно как модуль над собой и как модуль над Z. Рациональные числа алгебраически компактны как Z-модуль. Вместе с неразложимыми конечными модулями над Z, это полный список неразложимых алгебраически компактных модулей. Многие алгебраически компактные модули можно получить, используя инъективный когенератор Q/Z абелевых групп. Если H — правый модуль над кольцом R, то формируется (алгебраический) модуль символов H*, состоящий из всех гомоморфизмов групп из H в Q/Z. Это левый R-модуль, и операция * задает верный контравариантный функтор из правых R-модулей в левые R-модули. Каждый модуль вида H* алгебраически компактен. Кроме того, существуют чистые инъективные гомоморфизмы H → H**, естественные относительно H. Часто можно упростить задачу, сначала применив *-функтор, поскольку с алгебраически компактными модулями легче работать.