Кіріспе
Өлшем кеңістігі, кез келген нөлдік өлшемді жиынның кез келген кіші жиыны өлшенетін (және нөлдік өлшемге ие) кеңістік. Математикада, толық өлшем (немесе, дәлірек айтқанда, толық өлшем кеңістігі) – әрбір нөлдік жиынның барлық кіші жиындары өлшенетін (өлшемі нөлге тең) өлшем кеңістігі. Формальдырақ айтқанда, (X, Σ, μ) өлшем кеңістігі толық болады, егер және тек қана егер…
In mathematics, a complete measure (or, more precisely, a complete measure space) is a measure space in which every subset of every null set is measurable (having measure zero). More formally, a measure space (X, Σ, μ) is complete if and only if
Мотивация
Толықтық мәселелерін қарастыру қажеттілігін өнім кеңістіктерінің мысалымен түсіндіруге болады. Нақты түзуде Лебег өлшемін құрғанбыз дейік: осы өлшем кеңістігін арқылы белгілейміз. Енді жазықтықта екі өлшемді Лебег өлшемін өнім өлшемі ретінде құруды қалаймыз. Алғашқыда, алгебрасын барлық өлшенетін "төртбұрыштарды" қамтитын ең кіші алгебра деп есептейміз.
While this approach does define a measure space, it has a flaw. Since every singleton set has one dimensional Lebesgue measure zero,
for any subset of However, suppose that is a non measurable subset of the real line, such as the Vitali set. Then the measure of is not defined but
and this larger set does have measure zero. So this "two dimensional Lebesgue measure" as just defined is not complete, and some kind of completion procedure is required.
Бұл тәсіл өлшем кеңістігін анықтайды, бірақ оның бір кемшілігі бар. Кез келген жеке жиынның бір өлшемді Лебег өлшемі нөлге тең болғандықтан, кез келген ішкі жиын үшін , бірақ егер нақты түзудің өлшенбейтін ішкі жиыны болса, мысалы, Витали жиыны, онда өлшемі анықталмайды, ал осы үлкен жиынның өлшемі нөлге тең болады. Демек, осылай анықталған "екі өлшемді Лебег өлшемі" толық емес, сондықтан қандай да бір толықтыру процедурасы қажет.
While this approach does define a measure space, it has a flaw. Since every singleton set has one dimensional Lebesgue measure zero,
for any subset of However, suppose that is a non measurable subset of the real line, such as the Vitali set. Then the measure of is not defined but
and this larger set does have measure zero. So this "two dimensional Lebesgue measure" as just defined is not complete, and some kind of completion procedure is required.
Мысалдар
Борелдің σ-алгебрасында нақты түзудің ашық аралықтары арқылы анықталған Борел өлшемі толық емес, сондықтан толық Лебег өлшемін анықтау үшін жоғарыдағы толықтыру процедурасын қолдану қажет. Бұл фактіні Борел жиындарының жиынтығының кардиналдығы нақты сандардың кардиналдығымен тең болуымен түсіндіруге болады. Кантор жиыны Борел жиыны болып табылады, оның өлшемі нөлге тең, бірақ оның қуаты жиынының кардиналдығы нақты сандардың кардиналдығынан қатаң үлкен. Осыдан Кантор жиынында Борел жиындарына кірмейтін ішкі жиын бар екендігі көрінеді. Демек, Борел өлшемі толық емес. n-өлшемді Лебег өлшемі – бір өлшемді Лебег кеңістігінің өзімен n рет көбейтілгенінің толықтырылуы болып табылады. Бұл, сондай-ақ, бір өлшемді жағдайдағыдай, Борел өлшемінің де толықтырылуы.
Қасиеттері
Махарам теоремасы бойынша, кез келген толық өлшем кеңістігі континуумдардағы өлшемдерге және шекті немесе саналатын санау өлшеміне жіктеледі.