Введение

Пространство меры, в котором каждое подмножество множества с нулевой мерой измеримо (и имеет нулевую меру). В математике, полное пространство меры (или, точнее, полное пространство измерения) — это пространство меры, в котором каждое подмножество любого множества с нулевой мерой измеримо (и имеет нулевую меру). Более формально, пространство меры (X, Σ, μ) является полным тогда и только тогда, когда…

Мотивация

Необходимость рассмотрения вопросов полноты можно проиллюстрировать рассмотрением проблемы пространств произведений. Предположим, что мы уже построили меру Лебега на действительной прямой: обозначим это пространство меры как . Теперь мы хотим построить двумерную меру Лебега на плоскости как меру произведения. Наивно, мы бы взяли алгебру на как наименьшую сигма-алгебру, содержащую все измеримые "прямоугольники" для .

Хотя этот подход и определяет пространство с мерой, у него есть недостаток. Поскольку каждое одноэлементное множество имеет одномерную меру Лебега, равную нулю,

для любого подмножества . Однако, предположим, что является неизмеримым подмножеством действительной прямой, например, множество Витали. Тогда мера не определена, но

и это большее множество все же имеет меру ноль. Таким образом, эта "двухмерная мера Лебега", как она была определена, не является полной, и требуется процедура дополнения.

Примеры

Борельская мера, определенная на борелевской σ-алгебре, сгенерированной открытыми интервалами действительной прямой, не является полной, поэтому для определения полной меры Лебега необходимо использовать описанную выше процедуру завершения. Это иллюстрируется тем фактом, что множество всех борелевских множеств над действительными числами имеет ту же мощность, что и множество действительных чисел. В то время как множество Кантора является борелевским множеством, имеет меру нуль, а его континуум (множество всех его подмножеств) имеет мощность строго большую, чем у действительных чисел. Следовательно, существует подмножество множества Кантора, которое не является борелевским множеством. Таким образом, борельская мера не является полной. n-мерная мера Лебега является завершением n-кратного произведения одномерного пространства Лебега на себя. Она также является завершением борелевской меры, как и в одномерном случае.

Свойства

Теорема Махарама утверждает, что каждое полное пространство мер можно разложить на меры на континуумах и счетную или конечную меру счисления.