Толық реттік жиын: жоғарғы және төменгі шектердің толықтығы

Кіріспе

Барлық кіші жиынтықтарының жоғарғы және төменгі шектері бар ішінара реттелген жиынтық. Математикада толық тор – барлық кіші жиынтықтарының жоғарғы (біріктіру) және төменгі (көбейту) шектері бар ішінара реттелген жиынтық. Осы қасиеттердің кемінде біреуін қанағаттандыратын тор шартты толық тор деп аталады. Қарама-қарсылығы үшін, жалпы торда элементтердің тек жұптары ғана жоғарғы және төменгі шекке ие болуы керек. Кез келген бос емес шекті тор толық, бірақ шексіз торлар толық болмауы мүмкін. Толық торлар математика мен компьютерлік ғылымның көптеген қолданыстарында кездеседі. Торлардың ерекше түрі болғандықтан, олар реттік теорияда да, жалпы алгебрада да зерттеледі. Толық торларды толық ішінара реттелген жиынтықтардың (cpos) қатаң кең класын құрайтын толық ішінара тәртіптермен шатастырмау керек. Нақтырақ айтқанда, толық торлар – толық Буль алгебралары және толық Хейтинг алгебралары (локальдар).

Ресми анықтама

Ішінара реттелген жиын (L, ≤) толық тор болып есептеледі, егер L жиынының кез келген A ішкі жиыны үшін (L, ≤) ең үлкен төменгі шек (инфимум, сондай-ақ кездесу) және ең кіші жоғарғы шек (супремум, сондай-ақ қосылу) бар болса. Кездесу белгісімен , ал қосылу белгісімен көрсетіледі. Егер A бос жиын болса, онда A-ның кездесуі L-дің ең үлкен мүшесі болады. Сол сияқты, бос жиынның қосылуы L-дің ең кіші мүшесін береді. Осылайша, толық торлар – шектелген торлардың ерекше класын құрайды.

Толық субрельстер

Толық тор L-дің бөлшегі M, егер M-нің кез келген A жиыны үшін, L-де анықталған ең кіші және ең үлкен элементтері M-ге жатса, L-дің толық бөлшегі деп аталады.

Егер жоғарыдағы талапты тек бос емес кездесулер мен біріктірулердің M-ге жатуын талап ету үшін жеңілдетілсе, онда M бөлшегі L-дің жабық бөлшегі деп аталады.

Толық жартылай торлар

Толық кездесу жартылай тор немесе толық қосылу жартылай тор терминдері толық торларды атаудың тағы бір тәсілі болып табылады, себебі кез келген кездесулер кез келген қосылулар арқылы және керісінше өрнектеле алады (толықтық туралы толық мәліметтер үшін қараңыз). "Толық кездесу жартылай тор" терминінің тағы бір қолданылуы – шектеулі толық және толық ішінара тәртіп болып табылатын кездесу жартылай торы. Бұл түсінік, әлі тор емес кездесу жартылай торының ең толық түсінігі болып саналады (шынында, тек жоғарғы элементі ғана жетіспеуі мүмкін). Осы екі анықтама арасындағы талқылау үшін жартылай торларға қараңыз.

Мысалдар

Кез келген бос емес шекті тор тривиалды түрде толық болады. Берілген жиынның қуат жиынтығы кіріктіру арқылы реттелген. Жоғарғы шегі бірігу арқылы, ал төменгі шегі кіші жиынтықтардың қиылысуымен беріледі. Бірлік аралығы [0,1] және кеңейтілген нақты сандар сызығы, таныс толық ретпен және стандартты жоғарғы және төменгі шектерімен. Шындығында, толық реттелген жиын (рет топологиясымен) топологиялық кеңістік ретінде компактты, егер ол тор ретінде толық болса. Бөлінгіштік бойынша реттелген теріс емес бүтін сандар. Бұл тордың ең кіші елемі 1 саны, себебі ол кез келген басқа санды бөледі. Күтпегендей, ең үлкен елемі 0 болады, өйткені оны кез келген санға бөлуге болады. Шекті жиынтықтардың жоғарғы шегі ең кіші ортақ еселімен, ал төменгі шегі ең үлкен ортақ бөлгішпен беріледі. Шеңберсіз жиынтықтар үшін жоғарғы шегі әрқашан 0 болады, ал төменгі шегі 1-ден үлкен болуы мүмкін. Мысалы, барлық жұп сандар жиынының ең үлкен ортақ бөлгіші 2 болады. Егер 0-ді осы құрылымнан алып тастасақ, ол тор болып қалады, бірақ толықтығын жояды. Кез келген берілген топтың кіріктірілген кіші топтары. (Бұл жерде төменгі шек әдеттегі жиындық қиылыс болса, кіші топтар жиынының жоғарғы шегі – кіші топтардың жиындық бірілісімен жасалған кіші топ, бірақ жиындық біріліс емес.) Егер e – G-нің бірлік елемі болса, онда тривиалды кіші топ {e} – G-нің ең кіші кіші тобы, ал ең үлкен кіші тобы – G-нің өзі. Модульдің кіші модульдері, кіріктіру бойынша реттелген. Жоғарғы шегі кіші модульдердің қосындысымен, ал төменгі шегі қиылысымен беріледі. Сақинаның идеалдары, кіріктіру бойынша реттелген. Жоғарғы шегі идеалдардың қосындысымен, ал төменгі шегі қиылысымен беріледі. Топологиялық кеңістіктің кіріктіру тәртібімен реттелген ашық жиындары. Жоғарғы шегі ашық жиындардың бірілісімен, ал төменгі шегі қиылыстың ішкі жиынымен беріледі. Шын немесе кешенді векторлық кеңістіктің кіріктіру арқылы реттелген дөңес кіші жиындары. Төменгі шегі дөңес жиындардың қиылысымен, ал жоғарғы шегі бірілістің дөңес қабығымен беріледі. Жиынның топологиялары, кіріктіру бойынша реттелген. Төменгі шегі топологиялардың қиылысымен, ал жоғарғы шегі топологиялардың бірілісінен туындаған топологиямен беріледі. Жиынның барлық транзитивті қатынастарының торы. Көп жиынтықтың барлық кіші жиынтықтарының торы. Жиынның барлық эквиваленттілік қатынастарының торы; эквиваленттілік қатынасы ~ егер x~y әрқашан x≈y дегенді білдірсе, ≈-ден кіші (немесе "ұсақ") деп есептеледі. Фон Нейман алгебрасының өзіне-өзі қосымша проекцияларының торы (олар ортогоналды проекциялар деп те аталады).

Any non empty finite lattice is trivially complete. The power set of a given set is ordered by inclusion. The supremum is given by the union and the infimum by the intersection of subsets. The unit interval [0,1] and the extended real number line, with the familiar total order and the ordinary suprema and infima. Indeed, a completely ordered set (with its order topology) is compact as a topological space if it is complete as a lattice. The non negative integers, ordered by divisibility. The least element of this lattice is the number 1, since it divides any other number. Perhaps surprisingly, the greatest element is 0, because it can be divided by any other number. The supremum of finite sets is given by the least common multiple and the infimum by the greatest common divisor. For infinite sets, the supremum will always be 0 while the infimum can well be greater than 1. For example, the set of all even numbers has 2 as the greatest common divisor. If 0 is removed from this structure it remains a lattice but ceases to be complete. The subgroups of any given group under inclusion. (While the infimum here is the usual set theoretic intersection, the supremum of a set of subgroups is the subgroup generated by the set theoretic union of the subgroups, not the set theoretic union itself.) If e is the identity of G, then the trivial group {e} is the minimum subgroup of G, while the maximum subgroup is the group G itself. The submodules of a module, ordered by inclusion. The supremum is given by the sum of submodules and the infimum by the intersection. The ideals of a ring, ordered by inclusion. The supremum is given by the sum of ideals and the infimum by the intersection. The open sets of a topological space, ordered by inclusion. The supremum is given by the union of open sets and the infimum by the interior of the intersection. The convex subsets of a real or complex vector space, ordered by inclusion. The infimum is given by the intersection of convex sets and the supremum by the convex hull of the union. The topologies on a set, ordered by inclusion. The infimum is given by the intersection of topologies, and the supremum by the topology generated by the union of topologies. The lattice of all transitive relations on a set. The lattice of all sub multisets of a multiset. The lattice of all equivalence relations on a set; the equivalence relation ~ is considered to be smaller (or "finer") than ≈ if x~y always implies x≈y. The lattice of self adjoint projections (also known as orthogonal projections) of a von Neumann algebra.

Жергілікті шекті толық торлар

Толық тор L жергілікті шекті деп аталады, егер кез келген шексіз ішкі жиынның жоғарғы шегі 1-ге тең болса, немесе баламалы түрде, кез келген үшін жиын шекті болса. (N, |) торы жергілікті шекті. Бұл торда, әдетте "0" деп белгіленетін элемент шындығында 1, ал керісінше.

Галуа қосылыстары мен жалғаулары

Сонымен қатар, барлық біріктірулерді сақтайтын морфизмдер бірегей Галуа байланысының төменгі серіктес бөлігі ретінде эквивалентті сипатталады. Кез келген P және Q преордерлер жұбы үшін, олар f және g монотонды функцияларының жұбымен беріледі, мұнда f төменгі серіктес деп, ал g жоғарғы серіктес деп аталады. Қосымша функтор теоремасы бойынша, кез келген преордерлер жұбы арасындағы монотонды бейнелеу барлық біріктірулерді сақтайды, егер ол төменгі серіктес болса ғана, және барлық тоғысуларды сақтайды, егер ол жоғарғы серіктес болса ғана. Осылайша, біріктіруді сақтайтын әрбір морфизм кері бағыттағы бірегей жоғарғы серіктесті анықтайды, ол барлық тоғысуларды сақтайды. Сондықтан, толық торларды толық жартылай тор морфизмдерімен қарастыру Галуа байланыстарын морфизмдер ретінде қарастыруға дейін келеді. Бұл сондай-ақ енгізілген морфизмдер негізінен толық торлардың екі түрлі санатын ғана сипаттайтынын көрсетеді: бірі толық гомоморфизмдермен, екіншісі тоғысуды сақтайтын функциялармен (жоғарғы серіктестермен), ал біріншісі біріктіруді сақтайтын бейнелеулермен (төменгі серіктестермен) байланысты. Ерекше маңызды жағдай – X және Y жиындарының қосалқы жиынтардың торлары P(X) және P(Y) және X-тен Y-ге дейінгі функция. Бұл жағдайда қуат жиындары арасындағы тікелей бейне және кері бейне бейнелеулері бір-біріне сәйкесінше жоғарғы және төменгі серіктестер болып табылады.

Тегін "толық жартылай"

Әдеттегідей, еркін объектілердің құрылысы таңдалған морфизмдер класына байланысты. Біріншіден, барлық қосылыстарды сақтайтын функцияларды қарастырайық (яғни, Галуа байланыстарының төменгі қосымшаларын), өйткені бұл жағдай толық гомоморфизмдер жағдайынан қарапайым. Аталған терминологияны пайдалану арқылы, мұны еркін толық қосылыс жартылай тор деп атауға болады. Универсалды алгебрадан стандартты анықтаманы қолданып, S жиыны бойынша еркін толық тор L – L және i: S→L функциясы бар толық тор, сонда кез келген f функциясы S-ден кейбір толық тор M-нің негізгі жиынына L-ден M-ге f° морфизмі арқылы бірегей түрде жіктеледі. Басқаша айтқанда, S-тің әрбір элементі s үшін f(s) = f°(i(s)) болады және f° осы қасиетке ие жалғыз морфизм болып табылады. Бұл шарттар, негізінен, жиындар мен функциялар санатынан толық торлар санатына, толық торлардан олардың негізгі жиындарына ұмытылатын функцияға сол жақтан қосылатын функцияларды сақтайтын функциялар бар екенін көрсетеді. Бұл мағынадағы еркін толық торларды құру өте оңай: S жиыны тудырған толық тор – 2S қуат жиыны, яғни S-тің барлық ішкі жиындарының жиыны, ішкі жиындарды қосу арқылы реттелген. Қажетті i: S→2S бірлігі S-тің кез келген элементін {s} жеке жиынына бейнелейді. Жоғарыда көрсетілген f бейнелеуді ескере отырып, f°: 2S→M функциясы анықталады. Содан кейін f° біріктірулерді жоғарғы шекке айналдырады және осылайша қосылыстарды сақтайды. Біздің қарастыруларымыз сонымен қатар қосылыстардың орнына кездесетін (яғни, Галуа байланыстарының жоғарғы қосымшалары) морфизмдер үшін де еркін құрылыс береді. Шын мәнінде, біз жоғарыда айтылғандарды тек дуалдауымыз керек: еркін объектілер кері қосылу арқылы реттелген қуат жиындары ретінде беріледі, мұнда жиынтық одағы кездесу операциясын қамтамасыз етеді және f° функциясы қосылыстардың орнына кездесулер арқылы анықталады. Бұл құрылыстың нәтижесін еркін толық кездесу жартылай тор деп атауға болады. Сондай-ақ, бұл еркін құрылыстар еркін жартылай торларды алу үшін қолданылатын құрылыстарды қалай кеңейтетінін атап өту керек, онда тек шекті жиындарды қарастыру қажет.

As usual, the construction of free objects depends on the chosen class of morphisms. Let us first consider functions that preserve all joins (i. e. lower adjoints of Galois connections), since this case is simpler than the situation for complete homomorphisms. Using the aforementioned terminology, this could be called a free complete join semilattice. Using the standard definition from universal algebra, a free complete lattice over a generating set S is a complete lattice L together with a function i:S→L, such that any function f from S to the underlying set of some complete lattice M can be factored uniquely through a morphism f° from L to M. Stated differently, for every element s of S we find that f(s) = f°(i(s)) and that f° is the only morphism with this property. These conditions basically amount to saying that there is a functor from the category of sets and functions to the category of complete lattices and join preserving functions which is left adjoint to the forgetful functor from complete lattices to their underlying sets. Free complete lattices in this sense can be constructed very easily: the complete lattice generated by some set S is just the powerset 2S, i. e. the set of all subsets of S, ordered by subset inclusion. The required unit i:S→2S maps any element s of S to the singleton set {s}. Given a mapping f as above, the function f°:2S→M is defined by

Then f° transforms unions into suprema and thus preserves joins. Our considerations also yield a free construction for morphisms that do preserve meets instead of joins (i. e. upper adjoints of Galois connections). In fact, we merely have to dualize what was said above: free objects are given as powersets ordered by reverse inclusion, such that set union provides the meet operation, and the function f° is defined in terms of meets instead of joins. The result of this construction could be called a free complete meet semilattice. One should also note how these free constructions extend those that are used to obtain free semilattices, where we only need to consider finite sets.

Бос толық торлар

Толық гомоморфизмдері бар толық торлардың жағдайы, әрине, күрделірек. Шындығында, еркін толық торлар көбінесе жоқ. Әрине, торлар жағдайындағыдай сөз мәселесін формулиреуге болады, бірақ бұл жағдайда барлық мүмкін сөздердің (немесе "терминдердің") жиыны дұрыс класс болады, себебі кез келген кардиналдық аргумент жиындары үшін операциялар кездесулер мен біріктірулерді қамтиды. Бұл қасиеттің өзі мәселе емес: жоғарыда көрсетілгендей, еркін толық жартылай торлар жағдайында сөз мәселесінің шешімі тек эквиваленттілік класс(тар) жиынын қалдыруы мүмкін. Басқаша айтқанда, терминдер класының дұрыс класс(тары) бірдей мағынаға ие болуы және осылайша еркін құрылымда сәйкес болуы мүмкін. Дегенмен, толық торлардың сөз мәселесі үшін эквиваленттілік класс(тар) "өте кішкентай", сондықтан еркін толық тор әлі де дұрыс класс болады, бұл қабылданбайды. Енді генераторлар жиыны еркін толық тордың болуы үшін жеткілікті кішкентай болатын пайдалы жағдайлар бар деп үміттенуге болады. Өкінішке орай, өлшем шегі өте төмен және бізде мынадай теорема бар:

Үш генератордағы еркін толық тор жоқ; ол дұрыс класс болып табылады. Бұл тұжырымды Джонстон дәлелдеген, ал бастапқы аргумент Альфред В. Хейлске тиесілі; сонымен қатар, еркін торлар туралы мақаланы қараңыз.

Аяқтау

Егер толық тор берілген позиттен, жоғарыда қарастырылған генераторлар жиынының орнына қолданылатын, еркін құрылса, онда позиттің толықтырылуы туралы айтылады. Бұл операцияның нәтижесі жоғарыдағы еркін объектілердің анықтамасына ұқсас, бірақ "жинақтар" және "функциялар" "позиттер" және "монотонды бейнелеулер" арқылы алмастырылады. Сол сияқты, толықтыру процесін позиттер санатынан, монотонды функциялары бар, кері бағыттағы ұмыту функторына сол жақтан ілесіп жүретін тиісті морфизмдері бар толық торлар санатына дейінгі функтор ретінде сипаттауға болады. Егер кездесу немесе қосылу сақтайтын функцияларды морфизмдер ретінде қарастырсақ, онда бұл Дедекинд-Макнейл толықтыруы арқылы оңай жүзеге асырылады. Осы процесс үшін позиттің элементтері (Дедекинд) кесінділеріне бейнеленеді, содан кейін оларды кез келген толық тордың негізгі позитіне, жинақтар және жоғарыдағы еркін толық (жартылай) торлар үшін жасалғандай, бейнелеуге болады. Толық толық торлардың жоқ екендігі туралы айтылған нәтиже, позиттен еркін құрылымның да мүмкін емес екенін білдіреді. Бұл дискретті реті бар позиттерді қарастыру арқылы оңай көрінеді, онда әрбір элемент тек өзімен ғана байланысты. Бұл – негізгі жинақтағы еркін позиттер. Егер позиттерден толық торлардың еркін құрылымы болса, онда екі құрылымды да біріктіруге болар еді, бұл жоғарыдағы теріс нәтижеге қайшы келер еді.

Өкілдік

Г. Бирхоффтың "Торлар теориясы" кітабында өте пайдалы бейнелеу әдісі бар. Ол кез келген екі жиын арасындағы екілік қатынасқа толық торды байланыстырады, осы қатынастан Галуа байланысын құрастырады, нәтижесінде екі дуальді изоморфты жабылу жүйесі пайда болады. Жабылу жүйелері – қиылысуы жабық жиынтар отбасылары. Олар кіші жиын қатынасы ⊆ бойынша реттелгенде толық торлар болып табылады. Бирхофф құрылымының ерекше мысалы кез келген (P,≤) жинағынан басталады және P пен өзінің арасындағы ≤ реттік қатынасынан Галуа байланысын құрастырады. Нәтижесіндегі толық тор – Дедекинд-МакНейл толықтығы. Егер бұл толықтыру бұдан бұрын толық тор болған жинаққа қолданылса, нәтиже бастапқы жинаққа изоморфты болады. Осылайша, әрбір толық тор Бирхофф әдісімен, изоморфизмге дейін бейнеленеді екенін бірден байқаймыз. Бұл құрылым формалды тұжырымдамалық талдауда қолданылады, онда нақты деректер екілік қатынастар (формалды контексттер деп аталады) арқылы бейнеленеді және деректерді талдау үшін байланысты толық торлар (тұжырымдамалық торлар деп аталады) пайдаланылады. Сондықтан формалды тұжырымдамалық талдаудың математикалық негізі – толық торлар теориясы. Тағы бір бейнелеу келесідей алынады: Толық тордың кіші жиыны, егер ол өсуге бағытталған және идемпотентті (бірақ міндетті түрде кеңейтілмейтін) өзіндік бейнелеудің бейнесі болса, өзі толық тор болып табылады (индукцияланған рет бойынша). Сәйкестік бейнелеуі осы екі қасиетке ие. Осылайша, барлық толық торлар пайда болады.

Қосымша нәтижелер

Бұрынғы бейнелеу нәтижелерінен өзге, толық торлар туралы айтылатын немесе осы жағдайда ерекше қарапайым түрі бар басқа да мәлімдемелер бар. Мысалы, Кнастер-Тарски теоремасы, ол толық тордағы монотонды функцияның түрақты нүктелер жиыны да толық тор болатынын көрсетеді. Бұл, өсуші және идемпотентті функциялардың бейнелері туралы жоғарыдағы байқаудың жалпылама түрі болып табылады, себебі олар осы теореманың мысалдары.