Кіріспе

Сызықтық алгебрадағы ұғым. Сызықтық алгебрадағы Хаусхолдер түрленуі (сондай-ақ Хаусхолдер шағылысы немесе элементарлық рефлектор деп те аталады) – бастапқы нүктені қамтитын жазықтық немесе гипержазықтыққа қатысты шағылысты сипаттайтын сызықтық түрлену. Хаусхолдер түрленуі 1958 жылы Алстон Скотт Хаусхолдердің мақаласында қолданылған. Жалпы ішкі көбейту кеңістіктеріндегі оның аналогы – Хаусхолдер операторы.

Түрлендіру

Көрініс гипержазықтығын оның нормальдық векторымен, гипержазықтыққа перпендикуляр бірлік векторымен (ұзындығы 1-ге тең вектормен) анықтауға болады. Бұл гипержазықтыққа қатысты нүктенің көрінісі сызықтық түрлендіру болып табылады:

мұнда – конугатты транспозы бар бағандық бірлік векторы ретінде берілген.

Геометриялық оптика

Геометриялық оптикада айна шағылысуы Хаусхолдер матрицасы тұрғысынан түсіндіріледі (қараңыз).

Сандық сызықтық алгебра

Үй иесінің түрлендірулері сандық сызықтық алгебрада кеңінен қолданылады, мысалы, матрицаның бас диагоналінің астындағы элементтерді нөлге келтіру үшін, QR жіктемелерін жасау үшін және QR алгоритмінің алғашқы қадамында. Олар сондай-ақ Гессенберг түріне түрлендіру үшін де жиі қолданылады. Симметриялы немесе эрмиттік матрицалар үшін симметрия сақталып, тридиагональды түрге келтірілуі мүмкін.

QR ыдырау

Үй иесінің бейнелеуі QR-ыдырауды есептеу үшін матрицаның бірінші бағанының стандартты негіз векторының еселігіне бейнеленуі, түрлендіру матрицасын есептеу, оны бастапқы матрицамен көбейту және содан кейін осы көбейтіндінің кішірек матрицалары бойынша рекурсия жасау арқылы қолданылуы мүмкін. Мұны іске асыру үшін, күрделі векторды x күрделі вектордың күрделі еселігіне түрлендіретін Q гермиттік унитарлық матрицасы ізделеді. QR-ыдырау үшін e – бірлік координаттық вектор, мысалы, k-шы координата үшін. Q = I + u u* формасындағы күрделі матрица, мұнда u* u = 2, гермиттік унитарлық матрицаның қажетті қасиетіне ие. Мұнда * – конъюгатты транспозицияны білдіреді. Қатысты векторлар тек x және e болғандықтан, u векторы u = a x + b e формасында болуы керек, мұнда a және b – анықталуы тиіс күрделі коэффициенттер. u үшін абсолютті фазалық фактор маңызды емес болғандықтан, a коэффициентін оң нақты сан ретінде таңдауға болады. Енді Q x = x (1 – a (u* x)) + e (b (u* x)). x векторының коэффициенті нөлге тең болуы үшін, u* x-тегі екі мүшенің фазасы 180 градусқа дейін бірдей болуы керек, сондықтан arg(b) = arg(e* x) + 180 градустың еселігі болуы керек. 180 градустың жұп немесе тақ еселігі таңдалғандығына байланысты екі шешім бар. x векторының күрделі коэффициенті нөлге тең болуы үшін a және b модульдері үшін екі сызықтық теңдеуді шешу қажет. a және b фазалары бұрыннан анықталған. e-нің k-шы бірлік координаттық векторы деп есептейік, онда e* e = 1 және xk = e* x, ал |x| = sqrt(x* x) болсын. Содан кейін a және b мынадай түрде жай ғана өрнектеледі: a = 1/sqrt(|x|(|x| + |xk|)) және b = a |x| exp(i*arg(xk)) немесе a = 1/sqrt(|x|(|x|*|xk|)) және b = a |x| exp(i*arg(xk)). Екі шешім үшін де e-нің көбейткіші b/a-ға тең. Бірінші шешім жақсырақ, өйткені бөлгіш |x|-қа қарағанда нөлге жақын бола алмайды.