Введение

Группа математических теорем
В математике, в частности в абстрактной алгебре, теоремы об изоморфизмах (также известные как теоремы Ноэтера об изоморфизмах) — это теоремы, описывающие связь между факторгруппами (или фактор-структурами), гомоморфизмами и подструктурами. Существуют версии теорем для групп, колец, векторных пространств, модулей, алгебр Ли и различных других алгебраических структур. В универсальной алгебре теоремы об изоморфизмах могут быть обобщены в контексте алгебр и конгруэнций.

История

Теоремы изоморфизма были сформулированы в некоторой общности для гомоморфизмов модулей Эмми Ноэтер в ее статье «Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern», опубликованной в 1927 году в журнале Mathematische Annalen. Менее общие версии этих теорем можно найти в работах Ричарда Дедекинда и более ранних работах Ноэтер. Три года спустя Б. Л. ван дер Вэрден опубликовал свою влиятельную книгу «Современная алгебра» — первый учебник по абстрактной алгебре, в котором использовался подход, основанный на группах, кольцах и полях. Ван дер Вэрден отмечал лекции Ноэтер по теории групп и Эмиля Артина по алгебре, а также семинар, проводимый Артином, Вильгельмом Блашке, Отто Шрайером и самим ван дер Вэрденом, посвященный идеалам, как основные источники. В книге явно представлены три теоремы изоморфизма, называемые теоремой о гомоморфизмах, и два закона изоморфизма при их применении к группам.

Группы

Сначала мы представляем теоремы изоморфизма для групп.

Обсуждение

Первая теорема изоморфизма может быть выражена на языке теории категорий, утверждая, что категория групп является (нормально эпи, моно) факторизуемой; другими словами, нормальные эпиморфизмы и мономорфизмы образуют систему факторизации для этой категории. Это отражено в коммутативной диаграмме на полях, которая показывает объекты и морфизмы, существование которых можно вывести из морфизма. Диаграмма показывает, что каждый морфизм в категории групп имеет ядро в категорно-теоретическом смысле; произвольный морфизм *f* раскладывается в композицию , где ι – мономорфизм, а π – эпиморфизм (в конормальной категории все эпиморфизмы нормальны). Это представлено на диаграмме объектом и мономорфизмом (ядра всегда являются мономорфизмами), которые дополняют короткую точную последовательность, идущую от нижнего левого угла к верхнему правому углу диаграммы. Использование соглашения о точных последовательностях избавляет нас от необходимости изображать нулевые морфизмы из и .
Если последовательность расщепляется справа (то есть существует морфизм σ, отображающий в прообраз самого себя), то G является полупрямым произведением нормальной подгруппы и подгруппы . Если она расщепляется слева (то есть существует такой , что ), то она также должна расщепляться справа, и является разложением G в прямое произведение. В общем случае, существование правого расщепления не подразумевает существование левого расщепления; но в абелевой категории (например, в категории абелевых групп) левые и правые расщепления эквивалентны по лемме о расщеплениях, и правого расщепления достаточно для получения разложения в прямую сумму . В абелевой категории все мономорфизмы также нормальны, и диаграмму можно расширить второй короткой точной последовательностью .
Во второй теореме изоморфизма произведение SN является объединением S и N в решетке подгрупп G, а пересечение S ∩ N является пересечением. Третья теорема изоморфизма обобщается девятилеммой для абелевых категорий и более общих отображений между объектами.

Кольца

Формулировки теорем для колец аналогичны, при этом понятие нормальной подгруппы заменяется понятием идеала.

Теорема С (кольца)

Пусть R — кольцо, а I — идеал R. Тогда, если S — подкольцо R, такое что I ⊆ S, то S — подкольцо R. Каждое подкольцо R вида S ⊇ I имеет вид R/I для некоторого подкольца T R, такого что I ⊆ T. Если J — идеал R, такой что I ⊆ J, то J — идеал R. Каждый идеал R вида J ⊇ I имеет вид R/I для некоторого идеала K R, такого что I ⊆ K. Если I — идеал R, такой что I ⊆ J, то факторкольцо R/I изоморфно R/J.

Теорема D (кольца)

Пусть будет идеалом кольца . Соответствие является биекцией, сохраняющей включение, между множеством подколец кольца , содержащих , и множеством подколец кольца . Кроме того, подкольцо , содержащее , является идеалом кольца тогда и только тогда, когда является идеалом кольца .

Модули

Утверждения теорем об изоморфизме для модулей особенно просты, поскольку из любого подмодуля можно образовать фактормодуль. Теоремы об изоморфизме для векторных пространств (модулей над полем) и абелевых групп (модулей над ℤ) являются частными случаями этих теорем. Для конечномерных векторных пространств все эти теоремы вытекают из теоремы о ранге и нуль-пространстве. Далее под термином "модуль" подразумевается "R-модуль" для некоторого фиксированного кольца R.

Теорема С (модули)

Пусть M — модуль, T — подмодуль M.

Если N — подмодуль M такой, что T ⊆ N, то N — подмодуль M. Каждый подмодуль N модуля M имеет вид N = T + S для некоторого подмодуля S модуля M, такого что T ∩ S = {0}. Если N — подмодуль M такой, что N ⊆ T, то фактор-модуль M/N изоморфен T/N.

Теорема D (модули)

Пусть M — модуль, N — подмодуль M. Существует взаимно однозначное соответствие между подмодулями M, содержащими N, и подмодулями M. Это соответствие задается формулой для всех . Данное соответствие коммутирует с операциями взятия сумм и пересечений, то есть является изоморфизмом решёток между решёткой подмодулей M и решёткой подмодулей M, содержащих N.

Универсальная алгебра

Чтобы обобщить это на универсальную алгебру, нормальные подгруппы необходимо заменить отношениями конгруэнтности. Отношением конгруэнтности на алгебре является отношение эквивалентности, которое образует субальгебру, рассматриваемую как алгебра с поточечными операциями. Можно построить алгебру того же типа на множестве классов эквивалентности, определив операции через представителей; это будет корректно определено, поскольку является субальгеброй. Получающаяся структура является фактор-алгеброй.

Теорема А (универсальная алгебра)

Пусть φ — алгебраический гомоморфизм. Тогда образ φ является субальгеброй B, отношение, заданное ker φ (т.е. ядро φ), является конгруэнтностью на A, и алгебры A/ker φ и B изоморфны. (Обратите внимание, что в случае группы, φ(x) = e ⇔ x ∈ ker φ, таким образом, в этом случае восстанавливается понятие ядра, используемое в теории групп.)

Теорема С (универсальная алгебра)

Пусть A — алгебра, а ρ и σ — два отношения конгруэнтности на A, такие что ρ ⊆ σ. Тогда σ является отношением конгруэнтности на A, и A/ρ изоморфна A/σ.

Теорема D (универсальная алгебра)

Пусть – алгебра и пусть обозначает множество всех конгруэнций на . Множество является полной решеткой, упорядоченной по включению. Если – конгруэнция и мы обозначаем множеством всех конгруэнций, содержащих (то есть является главным фильтром в , причём это подрешетка), то отображение является изоморфизмом решеток.