Кіріспе
Функцияның өзгеруінің бірден жылдамдығы. Бағытты туындысы – көпөлшемді есептеудегі ұғым, функцияның белгілі бір нүктеде нақты бір бағытта өзгеру жылдамдығын өлшейді. Берілген нүктеде (x) берілген вектор v бойымен дифференциалданатын (скалярлық) функцияның бағытты туындысы, функцияның бірден өзгеру жылдамдығын көрсетеді, v векторымен берілген жылдамдықпен x арқылы қозғалғанда. Скалярлық функция f-тің вектор v-ға қатысты бағытты туындысы (мысалы, орналасу нүктесі) келесілердің кез келгенімен белгіленуі мүмкін: Сондықтан, бұл жартылай туынды ұғымын жалпылайды, онда өзгеру жылдамдығы қисық координаталардың біреуі бойымен есептеледі, ал қалған координаталар тұрақты болады. Бағытты туынды – Гато туындысының ерекше жағдайы.
A directional derivative is a concept in multivariable calculus that measures the rate at which a function changes in a particular direction at a given point. The directional derivative of a multivariable differentiable (scalar) function along a given vector v at a given point x intuitively represents the instantaneous rate of change of the function, moving through x with a velocity specified by v.
The directional derivative of a scalar function f with respect to a vector v at a point (e. g., position) x may be denoted by any of the following:
It therefore generalizes the notion of a partial derivative, in which the rate of change is taken along one of the curvilinear coordinate curves, all other coordinates being constant. The directional derivative is a special case of the Gateaux derivative.
Бірлік вектормен шектелу
Евклид кеңістігіндегі функция тұрғысынан, кейбір мәтіндер v векторын бірлік вектор ретінде ғана қарастырады. Осы шектеу болған жағдайда, жоғарыда келтірілген екі анықтама да мағына жағынан сәйкес келеді.
Дифференциалдық геометрияда
M – дифференциалданатын көпқырлылық, ал 'p' – M нүктесі болсын. f – 'p' маңында анықталған және 'p' нүктесінде дифференциалданатын функция деп есептейік. Егер 'v' – M-ге 'p' нүктесінде жанасатын вектор болса, онда f-тің 'v' бойымен бағытталған туындысы (df('v') (сыртқы туындыны қараңыз), (ковариантты туындыны қараңыз), (Ли туындысын қараңыз) немесе (қараңыз)) келесідей анықталады. γ : [−1, 1] → M – 1=γ(0) = 'p' және 1=γ′(0) = 'v' болатын дифференциалданатын қисық болсын. Бұл анықтама γ таңдауына тәуелді емес екенін дәлелдеуге болады, егер γ белгіленген тәртіппен таңдалса, яғни 1=γ(0) = 'p' және 1=γ′(0) = 'v' болса.
This definition can be proven independent of the choice of γ, provided γ is selected in the prescribed manner so that 1=γ(0) = 'p' and 1=γ′(0) = 'v'.
Қалыпты туынды
Нормальды туынды — кеңістіктегі қандай да бір бетке нормальды (яғни ортогональды) бағытта алынған, немесе жалпы алғанда, қандай да бір гипербетке ортогональды нормальды векторлық өріс бойымен алынған бағытты туынды. Мысалы, Нейман шекара шартын қараңыз. Егер нормальды бағыт деп белгіленсе, онда f функциясының нормальды туындысы кейде түрде жазылады. Басқа белгілеулерде: