Введение
Мгновенная скорость изменения функции. Направленная производная – это понятие в многомерном исчислении, которое измеряет скорость изменения функции в заданном направлении в данной точке. Направленная производная многомерной дифференцируемой (скалярной) функции вдоль заданного вектора v в данной точке x интуитивно представляет собой мгновенную скорость изменения функции при движении через точку x со скоростью, определяемой вектором v. Направленная производная скалярной функции f по отношению к вектору v в точке (например, позиции) x может быть обозначена одним из следующих способов:
A directional derivative is a concept in multivariable calculus that measures the rate at which a function changes in a particular direction at a given point. The directional derivative of a multivariable differentiable (scalar) function along a given vector v at a given point x intuitively represents the instantaneous rate of change of the function, moving through x with a velocity specified by v.
The directional derivative of a scalar function f with respect to a vector v at a point (e. g., position) x may be denoted by any of the following:
It therefore generalizes the notion of a partial derivative, in which the rate of change is taken along one of the curvilinear coordinate curves, all other coordinates being constant. The directional derivative is a special case of the Gateaux derivative.
Таким образом, она обобщает понятие частной производной, в которой скорость изменения вычисляется вдоль одной из криволинейных координат, при этом все остальные координаты остаются постоянными. Направленная производная является частным случаем производной Gateaux.
A directional derivative is a concept in multivariable calculus that measures the rate at which a function changes in a particular direction at a given point. The directional derivative of a multivariable differentiable (scalar) function along a given vector v at a given point x intuitively represents the instantaneous rate of change of the function, moving through x with a velocity specified by v.
The directional derivative of a scalar function f with respect to a vector v at a point (e. g., position) x may be denoted by any of the following:
It therefore generalizes the notion of a partial derivative, in which the rate of change is taken along one of the curvilinear coordinate curves, all other coordinates being constant. The directional derivative is a special case of the Gateaux derivative.
Ограничение на единичный вектор
В контексте функции на евклидовом пространстве некоторые тексты требуют, чтобы вектор v был единичным. При таком ограничении оба вышеприведенных определения эквивалентны.
В дифференциальной геометрии
Пусть M — дифференцируемое многообразие, а p — точка M. Предположим, что f — функция, определенная в окрестности точки p, и дифференцируемая в p. Если v — тангенциальный вектор к M в p, то направленная производная f вдоль v, обозначаемая различными способами как df(v) (см. внешняя производная), (см. ковариантная производная), (см. производная Ли) или (см. ), может быть определена следующим образом. Пусть γ : [−1, 1] → M — дифференцируемая кривая такая, что γ(0) = p и γ′(0) = v. Тогда направленная производная определяется как
Это определение можно доказать независимым от выбора кривой γ, при условии, что γ выбрана таким образом, чтобы γ(0) = p и γ′(0) = v.
Нормальная производная
Нормальная производная — это направленная производная, взятая в направлении нормали (то есть ортогонали) к некоторой поверхности в пространстве, или, в более общем случае, вдоль нормального векторного поля, ортогонального к некоторой гиперповерхности. См., например, граничное условие Неймана. Если нормальное направление обозначается , то нормальная производная функции f иногда обозначается как . В других обозначениях,