Кіріспе

Математикалық функция

Өлшем теориясының математикалық саласында, сыртқы өлшем немесе экстерьерлік өлшем – берілген жиынның барлық кіші жиындықтарында анықталған, кеңейтілген нақты сандардағы мәндерді қанағаттандыратын және бірқатар қосымша техникалық шарттарға сай келетін функция. Сыртқы өлшемдер теориясын алғаш Константин Каратеодори енгізді, ол өлшенетін жиынтықтар теориясы және саналатын қосымша өлшемдер үшін абстрактілі негізді қамтамасыз етуге бағытталған. Каратеодоридің сыртқы өлшемдер жөніндегі еңбектері өлшемдік жиын теориясында көптеген қолданыстар тапты (мысалы, сыртқы өлшемдер негізгі Каратеодори кеңейту теоремасын дәлелдеуде қолданылады), ал Хаусдорф оны қазір Хаусдорф өлшемі деп аталатын метрикалық инвариант сияқты өлшемді анықтау үшін маңызды тұрғысынан пайдаланды. Сыртқы өлшемдер геометриялық өлшем теориясы саласында кеңінен қолданылады. Өлшемдер – ұзындық, аудан және көлемнің жалпылама түрі, бірақ олар интервалдардағы немесе шарлардағыдан гөрі әлдеқайда абстрактілі және ретсіз жиынтықтар үшін де пайдалы. Бір адам келесі талаптарды орындайтын жалпыланған өлшеу функциясын анықтауды күте алады:

Кез келген нақты интервал белгілі бір өлшемге ие.
Өлшеу функциясы – аударма инварианттығының барлық кіші жиындықтарында анықталған, теріс емес кеңейтілген нақты мәнді функция. : Кез келген жиын және кез келген нақты сан үшін, және жиындықтары бірдей өлшемге ие болуы керек.
Саналатын қосымдылық: жұп-жұп байланыспайтын кіші жиындықтардың кез келген тізбегі үшін.

Бұл талаптар өзара үйлесімсіз жағдайлар болып табылады; өлшенбейтін жиынды қараңыз. Барлық кіші жиындықтар бойынша сыртқы өлшемді құрудың мақсаты – саналатын қосымдылық қасиетін қанағаттандыратын кіші жиындықтар класын (өлшенетін деп аталады) таңдау.

Сыртқы шараны шектеу және алға жылжыту

Бұл жиынғың үстінен сыртқы өлшем болсын.

Шектеу

B - X жиынының ішкі жиыны болсын. μB: 2^X → [0,∞] келесі арқылы анықталады:

μB – X жиынындағы тағы бір сыртқы өлшем екенін анықтамалар бойынша тікелей тексеруге болады.

Ұжымдардың алға жылжыту немесе шектеуге қатысты өлшенуі

Егер X жиынының A ішкі жиыны μ өлшенетін болса, онда ол X жиынының кез келген B ішкі жиыны үшін μB өлшенетін болады. f: X→Y бейнелеуі және Y жиынының A ішкі жиыны берілген болса, егер f^(-1)(A) μ өлшенетін болса, онда A f# μ өлшенетін болады. Көбірек айтқанда, f^(-1)(A) μ өлшенетін, егер және тек қана егер A f# (μB) өлшенетін болса, X жиынының кез келген B ішкі жиыны үшін.

Сыртқы шаралардың құрылымы

Жинақтың сыртқы өлшемдерін құру үшін бірнеше процедуралар бар. Төмендегі классикалық Манро еңбегі екі аса пайдалы процедураны, I және II әдіс деп аталатындарын сипаттайды.

I әдіс

X жиыны, C – бос жиынтықты қамтитын X-тің кіші жиынтықтар жиыны, ал p – бос жиынтықта нөлге тең болатын C-дегі теріс емес, кеңейтілген нақты мәнді функция болсын. Теорема. Егер C жиыны және p функциясы жоғарыда көрсетілгендей болса, мынаны анықтаймыз:

Яғни, инфимум E-ні жабатын C жиынының барлық {Ai} тізбектері бойынша алынады, егер мұндай тізбек болмаса, инфимум шексіз деп есептелінеді. Онда φ – X-тің сыртқы өлшемі.