Введение

Математическая функция

В математической теории мер внешняя мера или экстернальная мера — это функция, определенная на всех подмножествах данного множества со значениями в расширенных действительных числах, удовлетворяющая некоторым дополнительным техническим условиям. Теория внешних мер была впервые введена Константином Каратеодори для обеспечения абстрактного основания для теории измеримых множеств и счетно-аддитивных мер. Работа Каратеодори по внешним мерам нашла множество применений в теории множеств (внешние меры, например, используются в доказательстве фундаментальной теоремы расширения Каратеодори), и была использована Хаусдорфом для определения размерности, как метрической инварианты, теперь называемой размерностью Хаусдорфа. Внешние меры обычно используются в области геометрической теории мер. Меры являются обобщениями длины, площади и объема, но полезны для гораздо более абстрактных и нерегулярных множеств, чем интервалы в или шаров в . Можно ожидать, что будет определена обобщенная измерительная функция на , удовлетворяющая следующим требованиям:

Любой интервал действительных чисел имеет меру.
Измерительная функция является неотрицательной функцией, принимающей расширенные действительные значения, определенной для всех подмножеств. Инвариантность относительно сдвига: Для любого множества и любого действительного числа , множества и имеют одну и ту же меру.
Счетная аддитивность: для любой последовательности парно непересекающихся подмножеств из .

Оказывается, что эти требования являются несовместимыми условиями; см. неизмеримое множество. Цель построения внешней меры на всех подмножествах заключается в выделении класса подмножеств (которые будут называться измеримыми) таким образом, чтобы удовлетворить свойству счетной аддитивности.

Ограничение и продвижение внешней меры

Пусть μ — внешняя мера на множестве X.

Ограничение

Пусть B — подмножество X. Определим μB : 2^X → [0, ∞] следующим образом:

Непосредственно из определений следует, что μB является внешней мерой на X.

Измеряемость множеств относительно нажатия на переход или ограничения

Если подмножество A множества X измеримо по мере μ, то оно также измеримо по мере μB для любого подмножества B множества X. Пусть задано отображение f : X→Y и подмножество A множества Y. Если обратное отображение f⁻¹(A) измеримо по мере μ, то A измеримо по мере f#μ. В более общем случае, f⁻¹(A) измеримо по мере μ тогда и только тогда, когда A измеримо по мере f#(μB) для каждого подмножества B множества X.

Конструкция внешних мер

Существует несколько процедур построения внешних мер на множестве. Классическая работа Манро, указанная ниже, описывает два особенно полезных метода, известные как Метод I и Метод II.

Метод I

Пусть X – множество, C – семейство подмножеств X, содержащее пустое множество, и p – неотрицательная расширенная вещественная функция на C, равная нулю на пустом множестве. Теорема. Предположим, что семейство C и функция p заданы выше, и определим

То есть, инфимум берется по всем последовательностям {Ai} из элементов C, покрывающих E, при этом инфимум считается бесконечным, если такой последовательности не существует. Тогда φ является внешней мерой на X.