Кіріспе

Абстракт алгебрада "керіленудің" кеңейтілуі

Математикада, жою қасиеті (немесе жою мүмкіндігі) – керілену қасиетінің жалпылама түрі болып табылады. Магмадағы (M, ∗) a элементі сол жақтан жою қасиетіне ие (немесе сол жақтан жоюшы) болса, M-дегі барлық b және c үшін 1=a ∗ b = a ∗ c болғанда әрқашан 1=b = c болады.

Магмадағы (M, ∗) a элементі оң жақтан жою қасиетіне ие (немесе оң жақтан жоюшы) болса, M-дегі барлық b және c үшін 1=b ∗ a = c ∗ a болғанда әрқашан 1=b = c болады.

Магмадағы (M, ∗) a элементі екі жақты жою қасиетіне ие (немесе екі жақты жоюшы) болса, ол сол және оң жақтан жоюшы болады. Магма (M, ∗) сол жақтан жою қасиетіне ие (немесе сол жақтан жоюшы) болса, магмадағы барлық a элементтері сол жақтан жоюшы болады, ал оң жақтан жою немесе екі жақты жою қасиеттеріне де ұқсас анықтамалар қолданылады. Сол жақты керіленетін элемент сол жақтан жоюшы болады, және оң және екі жақты керіленетін элементтер үшін де осы принцип сақталады. Егер a⁻¹ – a-ның керісі болса, онда a ∗ b = a ∗ c болғанда a⁻¹ ∗ a ∗ b = a⁻¹ ∗ a ∗ c болады, содан кейін b = c шығады.

Мысалы, кез келген квазитоп, және демек, кез келген топ, жоюшы болып табылады.

Интерпретация

Магмадағы (M, ∗) a элементінің солдан қысқартылатынын айту, g: x ↦ a ∗ x функциясы инъективті екенін айтумен бірдей. g функциясының инъективті екендігі, a ∗ x = b түріндегі теңдік берілгенде, онда белгісіз тек x болса, теңдікті қанағаттандыратын x-тің жалғыз ғана мәні бар екенін білдіреді. Нақтырақ айтқанда, біз g функциясының керісі f функциясын анықтай аламыз, сонда барлық x үшін f(g(x)) = f(a ∗ x) = x болады. Басқаша айтқанда, M-дегі барлық x және y үшін, егер a ∗ x = a ∗ y болса, онда x = y. Сол сияқты, a элементінің оңнан қысқартылатынын айту, h: x ↦ x ∗ a функциясы инъективті екенін және M-дегі барлық x және y үшін, егер x ∗ a = y ∗ a болса, онда x = y екенін білдіреді.

Жоюшы моноидтар мен жартылай топтардың мысалдары

Оң (теңіз емес) бүтін сандар қосымша жартылай топты құрайды, онда элементтерді қысқарту мүмкін. Теріс емес бүтін сандар қосымша моноидты құрайды, онда да элементтерді қысқарту мүмкін. Бұл екеуі де квазитоп емес, бірақ қысқарту қасиетіне ие магманың мысалдары. Шындығында, кез келген еркін жартылай топ немесе моноид қысқарту заңына бағынады, ал жалпы алғанда, топқа енген кез келген жартылай топ немесе моноид (жоғарыдағы мысалдар көрсеткендей) қысқарту заңына бағынады. Басқаша айтқанда, сақинаның нөлдік бөлгіштері емес элементтерінің көбейту жартылай тобы (егер сақина домен болса, мысалы, бүтін сандар сияқты, онда бұл нөлдік емес элементтердің жиынтығы) қысқарту қасиетіне ие. Бұл қасиет сақина коммутативті немесе унитарлы болмаған жағдайда да сақталады.

Алып тастамайтын алгебралық құрылымдар

Жою заңы нақты және күрделі сандарды қосу, алу, көбейту және бөлу үшін жарамды болса да (нөлге көбейту мен нөлді басқа санға бөлуді қоспағанда), жою заңы жарамсыз болатын бірқатар алгебралық құрылымдар бар. Екі вектордың векторлық көбейтіндісі жою заңына бағынбайды. Егер a × b = a × c = 1 болса, онда b = c екені міндетті емес, тіпті a ≠ 0 болса да (мысалы, c = b + a). Матрица көбейту де міндетті түрде жою заңына бағынбайды. Егер AB = AC = 1 және A ≠ 0 болса, B = C деп қорытындылаудан бұрын A матрицасының инверттік матрицасы бар екенін (яғни, детерминанты бар) көрсету қажет. Егер det(A) = 0 болса, онда B, C-ге тең болмауы мүмкін, себебі AX = B матрицалық теңдеуі инверттік емес A матрицасы үшін бірегей шешімге ие болмайды. Сондай-ақ, егер AB = CA = 1 және A ≠ 0 болса, ал A матрицасы инверттік болса (яғни, детерминанты бар), онда B = C екені міндетті емес. Жою заңы тек AB = AC = 1 және BA = CA = 1 жағдайында ғана жұмыс істейді (A матрицасы инверттік болған жағдайда) және AB = CA = 1 және BA = AC = 1 жағдайында емес.