Введение

Расширение понятия "обратимости" в абстрактной алгебре

В математике понятие отменимости (или отменяемости) является обобщением понятия обратимости. Элемент a в магме (M, ∗) обладает левым свойством отменимости (или является левоотменяемым), если для всех b и c из M, a ∗ b = a ∗ c = 1 всегда влечет за собой b = c = 1.

Элемент a в магме (M, ∗) обладает правым свойством отменимости (или является правоотменяемым), если для всех b и c из M, b ∗ a = c ∗ a = 1 всегда влечет за собой b = c = 1.

Элемент a в магме (M, ∗) обладает двусторонним свойством отменимости (или является отменяемым), если он является одновременно левоотменяемым и правоотменяемым. Магма (M, ∗) обладает левым свойством отменимости (или является левоотменяемой), если все элементы a в магме являются левоотменяемыми, и аналогичные определения применимы к правоотменяемым или двусторонним свойствам отменимости. Левообратимый элемент является левоотменяемым, и аналогично для правообратимых и двусторонних элементов. Если a⁻¹ является обратным к a, то a ∗ b = a ∗ c влечет за собой a⁻¹ ∗ a ∗ b = a⁻¹ ∗ a ∗ c, что влечет за собой b = c.

Например, каждая квазигруппа, и, следовательно, каждая группа, является отменяемой.

Интерпретация

Сказать, что элемент a в магме (M, ∗) является левосократимым, значит сказать, что функция g: x ↦ a ∗ x инъективна. То, что функция g инъективна, подразумевает, что при некотором равенстве вида a ∗ x = b, где единственным неизвестным является x, существует только одно возможное значение x, удовлетворяющее этому равенству. Более точно, мы можем определить некоторую функцию f, обратную g, такую что для всех x выполняется f(g(x)) = f(a ∗ x) = x. Другими словами, для всех x и y в M, если a ∗ x = a ∗ y, то x = y. Аналогично, сказать, что элемент a является правосократимым, значит сказать, что функция h: x ↦ x ∗ a инъективна и что для всех x и y в M, если x ∗ a = y ∗ a, то x = y.

Примеры аннулирующих моноидов и полугрупп

Положительные (и неотрицательные) целые числа образуют отменяющую полугруппу относительно сложения. Неотрицательные целые числа образуют отменяющий моноид относительно сложения. Каждый из них является примером отменяющей магмы, не являющейся квазигруппой. Фактически, любая свободная полугруппа или моноид удовлетворяет закону отмены, и в общем случае любая полугруппа или моноид, вкладываемый в группу (как это явно демонстрируют вышеуказанные примеры), будет удовлетворять закону отмены. В другом контексте, (подполугруппа) мультипликативная полугруппа элементов кольца, не являющихся делителями нуля (которая является просто множеством всех ненулевых элементов, если рассматриваемое кольцо является областью целостности, например, целые числа), обладает свойством отмены. Следует отметить, что это остается верным даже в случае некоммутативного и/или неодиничного кольца.

Неотменяющие алгебраические структуры

Хотя закон сокращения применим к сложению, вычитанию, умножению и делению действительных и комплексных чисел (за исключением единственного случая – умножения на ноль и деления нуля на другое число), существуют алгебраические структуры, в которых закон сокращения не выполняется. Векторное произведение двух векторов не удовлетворяет закону сокращения. Если a × b = a × c, то из этого не следует, что b = c, даже если a ≠ 0 (например, пусть c = b + a).

Умножение матриц также не всегда удовлетворяет закону сокращения. Если AB = AC и A ≠ 0, то необходимо показать, что матрица A обратима (то есть имеет ненулевой определитель), прежде чем можно будет заключить, что B = C. Если det(A) = 0, то B может не равняться C, поскольку матричное уравнение AX = B не будет иметь единственного решения для необратимой матрицы A. Также следует отметить, что если AB = CA и A ≠ 0 и матрица A обратима (то есть имеет ненулевой определитель), то не обязательно верно, что B = C. Сокращение работает только для AB = AC и BA = CA (при условии, что матрица A обратима), а не для AB = CA и BA = AC.