Кіріспе

Дифференциалдық теңдеудің бір түрі – математика және оның қолданбаларындағы Штурм-Лиувилл мәселесі, екінші реттік сызықтық қалыпты дифференциалдық теңдеу болып табылады:

берілген функциялар , және үшін, шекті шарттармен бірге, айнымалысының шекті мәндерінде. Штурм-Лиувилл мәселесінің мақсаттары: мәселенің тривиалды емес шешімі бар λ-ны табу. Мұндай λ мәндері мәселенің өзіндік мәндері деп аталады. Әрбір λ өзіндік мәні үшін мәселенің сәйкес келетін шешімін табу. Мұндай функциялар әрбір λ-ға байланысты өзіндік функциялар деп аталады.

Штурм-Лиувилл теориясы – Штурм-Лиувилл мәселелерін жалпы зерттеу. Атап айтқанда, "турақты" Штурм-Лиувилл мәселесі үшін, әрқайсысының бірегей өзіндік функциясы бар, шексіз көп өзіндік мәндер бар екендігі көрсетіледі, және осы өзіндік функциялар белгілі бір функциялардың Хилберт кеңістігінің ортонормалдық базасын құрайды. Бұл теория қолданбалы математикада маңызды, онда Штурм-Лиувилл мәселелері жиі кездеседі, әсіресе бөлінетін сызықтық дербес дифференциалдық теңдеулермен жұмыс істегенде. Мысалы, кванттық механикада бір өлшемді уақыттан тәуелсіз Шредингер теңдеуі – Штурм-Лиувилл мәселесі болып табылады. Штурм-Лиувилл теориясы осы теорияны жасаған Жак Шарль Франсуа Штурм (1803–1855) және Жозеф Лиувиль (1809–1882) есімдерімен аталады.

Штурм-Лиувилл түріне қысқарту

Дифференциалдық теңдеу Стурм-Лиувилль немесе өзін-өзі қосатын түрінде деп айтылады. Барлық екінші реттік сызықтық гомогендік қалыпты дифференциалдық теңдеулерді теңдеудің екі жағын тиісті интегралдаушы коэффициентке көбейту арқылы сол жақтағы түріне келтіруге болады (бірақ бұл екінші реттік дербес дифференциалдық теңдеулерге немесе y вектор болған жағдайда қолданбалы емес). Кейбір мысалдар төменде көрсетілген.

Атыс әдістері

Атыс әдістері λ-ның мәнін болжау арқылы, аралықтың бір шеткі нүктесінде, мысалы, a-дағы шекаралық шарттармен анықталатын бастапқы мән есебін шешу арқылы, осы шешімнің екінші шеткі нүктесі b-дағы қалған қажетті шекаралық шартпен салыстырылады, содан соң бастапқы мәнді түзету үшін λ қажеттілікке қарай ұлғайтылады немесе азайтылады. Бұл стратегия күрделі өзіндік мәндерді анықтау үшін қолданылмайды.

Жойылмайтын ерітінді жасау

SPPS әдісін өзі y0 бастапқы шешімін табу үшін де қолдануға болады. 1=(py′)′ = μqy теңдеуін қарастырайық; яғни, q, w және λ сәйкесінше 0, −q және μ-мен алмастырылады. Онда 1 тұрақты функциясы 1=μ0 = 0 өзіндік мәніне сәйкес келетін нөлдік емес шешім болып табылады. u0 немесе u1 жоғалып кетпейтініне кепілдік берілмесе де, 1=y0 = u0 + iu1 кешенді функциясы ешқашан жоғалып кетпейді, себебі тұрақты Стурм-Лиувилль теңдеуінің екі сызықтық тәуелсіз шешімі Стурм ажырату теоремасының салдарынан бір мезгілде жоғалып кетпеуі керек. Бұл тәсіл 1=λ0 = 0 мәні үшін y0 шешімін береді. Іс жүзінде, егер теңдеу нақты коэффициенттерге ие болса, y0 негізіндегі шешімдер өте кішкентай жорамал бөліктерге ие болады, оларды жою қажет.