Введение
В математике и ее приложениях, проблема Штурма-Лиувиля — это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида:
In mathematics and its applications, a Sturm–Liouville problem is a second order linear ordinary differential equation of the form:
для заданных функций , и , вместе с некоторыми граничными условиями при крайних значениях . Цели решения проблемы Штурма-Лиувиля заключаются в следующем:
Найти λ, для которого существует нетривиальное решение задачи. Такие значения λ называются собственными значениями задачи. Для каждого собственного значения λ необходимо найти соответствующее решение задачи. Такие функции называются собственными функциями, соответствующими каждому λ.
To find the λ for which there exists a non trivial solution to the problem. Such values λ are called the eigenvalues of the problem. For each eigenvalue λ, to find the corresponding solution of the problem. Such functions are called the eigenfunctions associated to each λ.
Теория Штурма-Лиувиля — это общее исследование проблем Штурма-Лиувиля. В частности, для "регулярной" проблемы Штурма-Лиувиля можно показать, что существует бесконечное число собственных значений, каждое из которых имеет единственную собственную функцию, и что эти собственные функции образуют ортонормированный базис в определенном гильбертовом пространстве функций. Эта теория важна в прикладной математике, где проблемы Штурма-Лиувиля возникают очень часто, особенно при работе с разделяемыми линейными уравнениями в частных производных. Например, в квантовой механике, одномерное стационарное уравнение Шрёдингера является проблемой Штурма-Лиувиля. Теория Штурма-Лиувиля названа в честь Жака Шарля Франсуа Штурма (1803–1855) и Жозефа Лиувилля (1809–1882), которые разработали эту теорию.
Сокращение в форму SturmLiouville
Дифференциальное уравнение называется уравнением в форме Штурма-Лиувиля или самосопряжённой форме. Любое линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка можно привести к виду, представленному в левой части уравнения, умножив обе стороны уравнения на подходящий интегрирующий множитель (однако это неверно для уравнений в частных производных второго порядка, или если y является вектором). Ниже приведены некоторые примеры.
Методы стрельбы
Методы стрельбы заключаются в угадывании значения λ, решении задачи начальных условий, заданной граничными условиями в одной конечной точке, скажем, a, интервала, сравнении значения, которое принимает полученное решение в другой конечной точке b, с другим заданным граничным условием и, наконец, увеличении или уменьшении λ по мере необходимости для корректировки исходного значения. Эта стратегия неприменима для нахождения комплексных собственных значений.
Конструкция не исчезающего раствора
Сам метод SPPS может быть использован для нахождения начального решения y0. Рассмотрим уравнение 1=(py′)′ = μqy; то есть, q, w и λ заменяются на 0, −q и μ соответственно. Тогда постоянная функция 1 является ненулевым решением, соответствующим собственному значению 1=μ0 = 0. Хотя нет гарантии, что u0 или u1 не обратятся в ноль, комплексная функция 1=y0 = u0 + iu1 никогда не обратится в ноль, поскольку два линейно независимых решения регулярного уравнения Штурма — Лиувиля не могут одновременно обращаться в ноль в силу теоремы о разделении Штурма. Этот прием позволяет получить решение y0 для значения 1=λ0 = 0. На практике, если уравнение имеет вещественные коэффициенты, решения, построенные на основе y0, будут иметь очень малые мнимые части, которые необходимо отбросить.