Кіріспе
Дифференциалдық алгебра
Абстракт алгебрада Вейль алгебрасы — полиномдық коэффициенттері бар дифференциалды операторлардың сақинасы (бір айнымалыда), атап айтқанда, мынадай түріндегі өрнектер.
In abstract algebra, the Weyl algebra is the ring of differential operators with polynomial coefficients (in one variable), namely expressions of the form
More precisely, let F be the underlying field, and let F[X] be the ring of polynomials in one variable, X, with coefficients in F. Then each fi lies in F[X], ∂X is the derivative with respect to X, and the algebra is generated by X and ∂X. The Weyl algebra is an example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring. It is also a noncommutative example of a domain, and an example of an Ore extension. The Weyl algebra is isomorphic to the quotient of the free algebra on two generators, X and Y, by the ideal generated by the element
The Weyl algebra is the first in an infinite family of algebras, also known as Weyl algebras. The n th Weyl algebra, An, is the ring of differential operators with polynomial coefficients in n variables. It is generated by Xi and ∂Xi, 1=i = 1, , n.
Weyl algebras are named after Hermann Weyl, who introduced them to study the Heisenberg uncertainty principle in quantum mechanics. It is a quotient of the universal enveloping algebra of the Heisenberg algebra, the Lie algebra of the Heisenberg group, by setting the central element of the Heisenberg algebra (namely [X,Y]) equal to the unit of the universal enveloping algebra (called 1 above). The Weyl algebra is also referred to as the symplectic Clifford algebra. Weyl algebras represent for symplectic bilinear forms the same structure that Clifford algebras represent for non degenerate symmetric bilinear forms.
Нақтырақ айтқанда, F – негізгі өріс болсын, ал F[X] – F коэффициенттері бар бір айнымалыдағы полиномдардың сақинасы болсын. Содан кейін әрбір fi F[X]-те жатыр, ∂X – X-ке қатысты туынды, ал алгебра X және ∂X арқылы құрылады. Вейль алгебрасы – бөліну сақинасының үстіндегі матрицалық сақина емес қарапайым сақинаның мысалы. Бұл сонымен қатар доменнің коммутативті емес мысалы және Оре кеңейтуінің мысалы. Вейль алгебрасы екі генератордағы X және Y еркін алгебрасының, элементпен құрылған идеалға қатысты изоморфты. Вейль алгебрасы – шексіз алгебралар отбасындағы бірінші, сондай-ақ Вейль алгебрасы деп аталады. n-ші Вейль алгебрасы, An – n айнымалыдағы полиномдық коэффициенттері бар дифференциалды операторлардың сақинасы. Ол Xi және ∂Xi арқылы құрылады, мұнда i = 1, 2, ..., n.
In abstract algebra, the Weyl algebra is the ring of differential operators with polynomial coefficients (in one variable), namely expressions of the form
More precisely, let F be the underlying field, and let F[X] be the ring of polynomials in one variable, X, with coefficients in F. Then each fi lies in F[X], ∂X is the derivative with respect to X, and the algebra is generated by X and ∂X. The Weyl algebra is an example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring. It is also a noncommutative example of a domain, and an example of an Ore extension. The Weyl algebra is isomorphic to the quotient of the free algebra on two generators, X and Y, by the ideal generated by the element
The Weyl algebra is the first in an infinite family of algebras, also known as Weyl algebras. The n th Weyl algebra, An, is the ring of differential operators with polynomial coefficients in n variables. It is generated by Xi and ∂Xi, 1=i = 1, , n.
Weyl algebras are named after Hermann Weyl, who introduced them to study the Heisenberg uncertainty principle in quantum mechanics. It is a quotient of the universal enveloping algebra of the Heisenberg algebra, the Lie algebra of the Heisenberg group, by setting the central element of the Heisenberg algebra (namely [X,Y]) equal to the unit of the universal enveloping algebra (called 1 above). The Weyl algebra is also referred to as the symplectic Clifford algebra. Weyl algebras represent for symplectic bilinear forms the same structure that Clifford algebras represent for non degenerate symmetric bilinear forms.
Вейль алгебралары кванттық механикада Гейзенбергтің белгісіздік принципін зерттеу үшін енгізген Герман Вейльдің есімімен аталған. Ол Гейзенберг алгебрасының әмбебап орауыш алгебрасының, Гейзенберг тобының Ли алгебрасының, Гейзенберг алгебрасының орталық элементін (атап айтқанда [X, Y]) әмбебап орауыш алгебрасының бірлігіне тең қою арқылы (жоғарыда 1 деп аталады) алынған бөлігі болып табылады. Вейль алгебрасы симплектикалық Клиффорд алгебрасы деп те аталады. Вейль алгебрасы симплектикалық билинейлік формалар үшін, Клиффорд алгебрасы бұрыс емес симметриялық билинейлік формалар үшін көрсететін құрылымды көрсетеді.
In abstract algebra, the Weyl algebra is the ring of differential operators with polynomial coefficients (in one variable), namely expressions of the form
More precisely, let F be the underlying field, and let F[X] be the ring of polynomials in one variable, X, with coefficients in F. Then each fi lies in F[X], ∂X is the derivative with respect to X, and the algebra is generated by X and ∂X. The Weyl algebra is an example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring. It is also a noncommutative example of a domain, and an example of an Ore extension. The Weyl algebra is isomorphic to the quotient of the free algebra on two generators, X and Y, by the ideal generated by the element
The Weyl algebra is the first in an infinite family of algebras, also known as Weyl algebras. The n th Weyl algebra, An, is the ring of differential operators with polynomial coefficients in n variables. It is generated by Xi and ∂Xi, 1=i = 1, , n.
Weyl algebras are named after Hermann Weyl, who introduced them to study the Heisenberg uncertainty principle in quantum mechanics. It is a quotient of the universal enveloping algebra of the Heisenberg algebra, the Lie algebra of the Heisenberg group, by setting the central element of the Heisenberg algebra (namely [X,Y]) equal to the unit of the universal enveloping algebra (called 1 above). The Weyl algebra is also referred to as the symplectic Clifford algebra. Weyl algebras represent for symplectic bilinear forms the same structure that Clifford algebras represent for non degenerate symmetric bilinear forms.
Вейль алгебрасының қасиеттері
Егер F негізгі өрісінің сипаттамасы нөл болса, онда n-ші Вейл алгебрасы қарапайым Ноэтериандық домен болып табылады. Оның жаһандық өлшемі n-ге тең, бұл деформациялайтын сақина Sym(V)-тан өзгеше, оның жаһандық өлшемі 2n-ге тең. Оның шекті өлшемді өкілдіктері жоқ. Бұл қарапайымдықтан туындайды, бірақ оны σ(X) және σ(Y) ізін алу арқылы тікелей көрсетуге болады, мұнда σ – кез келген шекті өлшемді өкілдік (мұнда 1 = [X, Y] = 1). Коммутатордың ізі нөлге тең, ал бірлік матрицаның ізі өкілдіктің өлшеміне тең болғандықтан, өкілдік нөлдік өлшемді болуы керек. Шындығында, шекті өлшемді өкілдіктердің болмауынан да күшті мәлімдемелер бар. Кез келген шекті түрде туындаған An модулі M үшін V × V* кеңістігінде Char(M) деп аталатын сәйкес келетін субвариант бар, ол «сипаттамалық вариант» деп аталады, оның мөлшері шамамен M-нің мөлшеріне сәйкес келеді (шектеулі өлшемді модуль үшін сипаттамалық варианттың өлшемі нөлге тең болады). Бернштейннің теңсіздігі M нөлдік емес болған жағдайда қолданылады.
Одан да күшті мәлімдеме – Габбер теоремасы, ол Char(M) табиғи симплектикалық форма үшін V × V* кеңістігінде коизотроптық субвариант болып табылады.
Оң сипаттама
Бұл жағдай p > 0 сипаттамасы бар өріс үстіндегі Вейль алгебрасы үшін едәуір өзгеше. Бұл жағдайда, Вейль алгебрасының кез келген D элементе үшін, Dp элементе орталық болып табылады, сондықтан Вейль алгебрасының өте үлкен орталығы бар. Шындығында, ол өзінің орталығы үстінде шекті түрде жасалған модуль болып табылады; тіпті одан да артық, ол өзінің орталығы үстінде Азумая алгебрасы. Осының салдары ретінде, p өлшеміндегі қарапайым бейнелеулерден құралған көптеген шекті өлшемді бейнелеулер бар.
Тұрақты ортасы
Вейль алгебрасының орталығы – тұрақтылар өрісі. Ортадағы кез келген элемент үшін, барлық және барлық үшін орындалады. Осылайша, – тұрақты шама.
Жалпылау
Бұл кванттау туралы n = 1 жағдайындағы толық мәліметтерді (және Фурье түрлендірмесін қолданып, полиномдық функциялардан кеңірек интегралданатын функциялар класына таратуды) Wigner-Weyl түрлендірмесінен қараңыз. Weyl алгебралары мен Clifford алгебралары *алгебраның қосымша құрылымын қабылдайды және оларды CCR және CAR алгебраларында талқыланғандай, супералгебраның жұп және тақ бөліктері ретінде біріктіруге болады.
Туған тұқымдар
Вейль алгебралары алгебралық сорттар жағдайында да жалпыланады. Бірмүшелік сақинаны қарастырайық.
Содан кейін дифференциалдық оператор, осы сақинаның сызықтық туындыларының композициясы ретінде анықталады. Оны нақты түрде бөлу сақинасы ретінде сипаттауға болады.
Then a differential operator is defined as a composition of linear derivations of This can be described explicitly as the quotient ring