Введение
Дифференциальная алгебра
In abstract algebra, the Weyl algebra is the ring of differential operators with polynomial coefficients (in one variable), namely expressions of the form
More precisely, let F be the underlying field, and let F[X] be the ring of polynomials in one variable, X, with coefficients in F. Then each fi lies in F[X], ∂X is the derivative with respect to X, and the algebra is generated by X and ∂X. The Weyl algebra is an example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring. It is also a noncommutative example of a domain, and an example of an Ore extension. The Weyl algebra is isomorphic to the quotient of the free algebra on two generators, X and Y, by the ideal generated by the element
The Weyl algebra is the first in an infinite family of algebras, also known as Weyl algebras. The n th Weyl algebra, An, is the ring of differential operators with polynomial coefficients in n variables. It is generated by Xi and ∂Xi, 1=i = 1, , n.
Weyl algebras are named after Hermann Weyl, who introduced them to study the Heisenberg uncertainty principle in quantum mechanics. It is a quotient of the universal enveloping algebra of the Heisenberg algebra, the Lie algebra of the Heisenberg group, by setting the central element of the Heisenberg algebra (namely [X,Y]) equal to the unit of the universal enveloping algebra (called 1 above). The Weyl algebra is also referred to as the symplectic Clifford algebra. Weyl algebras represent for symplectic bilinear forms the same structure that Clifford algebras represent for non degenerate symmetric bilinear forms.
В абстрактной алгебре алгебра Вейля представляет собой кольцо дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами (в одной переменной), а именно выражения вида
In abstract algebra, the Weyl algebra is the ring of differential operators with polynomial coefficients (in one variable), namely expressions of the form
More precisely, let F be the underlying field, and let F[X] be the ring of polynomials in one variable, X, with coefficients in F. Then each fi lies in F[X], ∂X is the derivative with respect to X, and the algebra is generated by X and ∂X. The Weyl algebra is an example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring. It is also a noncommutative example of a domain, and an example of an Ore extension. The Weyl algebra is isomorphic to the quotient of the free algebra on two generators, X and Y, by the ideal generated by the element
The Weyl algebra is the first in an infinite family of algebras, also known as Weyl algebras. The n th Weyl algebra, An, is the ring of differential operators with polynomial coefficients in n variables. It is generated by Xi and ∂Xi, 1=i = 1, , n.
Weyl algebras are named after Hermann Weyl, who introduced them to study the Heisenberg uncertainty principle in quantum mechanics. It is a quotient of the universal enveloping algebra of the Heisenberg algebra, the Lie algebra of the Heisenberg group, by setting the central element of the Heisenberg algebra (namely [X,Y]) equal to the unit of the universal enveloping algebra (called 1 above). The Weyl algebra is also referred to as the symplectic Clifford algebra. Weyl algebras represent for symplectic bilinear forms the same structure that Clifford algebras represent for non degenerate symmetric bilinear forms.
Более точно, пусть F – базовое поле, а F[X] – кольцо многочленов от одной переменной X с коэффициентами в F. Тогда каждый fi принадлежит F[X], ∂X – производная по X, и алгебра порождается X и ∂X. Алгебра Вейля является примером простого кольца, которое не является матричным кольцом над полем. Это также некомутативный пример области и пример расширения Оре. Алгебра Вейля изоморфна отношению свободной алгебры на двух образующих, X и Y, по идеалу, порожденному элементом
In abstract algebra, the Weyl algebra is the ring of differential operators with polynomial coefficients (in one variable), namely expressions of the form
More precisely, let F be the underlying field, and let F[X] be the ring of polynomials in one variable, X, with coefficients in F. Then each fi lies in F[X], ∂X is the derivative with respect to X, and the algebra is generated by X and ∂X. The Weyl algebra is an example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring. It is also a noncommutative example of a domain, and an example of an Ore extension. The Weyl algebra is isomorphic to the quotient of the free algebra on two generators, X and Y, by the ideal generated by the element
The Weyl algebra is the first in an infinite family of algebras, also known as Weyl algebras. The n th Weyl algebra, An, is the ring of differential operators with polynomial coefficients in n variables. It is generated by Xi and ∂Xi, 1=i = 1, , n.
Weyl algebras are named after Hermann Weyl, who introduced them to study the Heisenberg uncertainty principle in quantum mechanics. It is a quotient of the universal enveloping algebra of the Heisenberg algebra, the Lie algebra of the Heisenberg group, by setting the central element of the Heisenberg algebra (namely [X,Y]) equal to the unit of the universal enveloping algebra (called 1 above). The Weyl algebra is also referred to as the symplectic Clifford algebra. Weyl algebras represent for symplectic bilinear forms the same structure that Clifford algebras represent for non degenerate symmetric bilinear forms.
Алгебра Вейля является первой в бесконечном семействе алгебр, также известных как алгебры Вейля. n-я алгебра Вейля, An, представляет собой кольцо дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в n переменных. Она порождается Xi и ∂Xi, где i = 1, 2, ..., n.
In abstract algebra, the Weyl algebra is the ring of differential operators with polynomial coefficients (in one variable), namely expressions of the form
More precisely, let F be the underlying field, and let F[X] be the ring of polynomials in one variable, X, with coefficients in F. Then each fi lies in F[X], ∂X is the derivative with respect to X, and the algebra is generated by X and ∂X. The Weyl algebra is an example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring. It is also a noncommutative example of a domain, and an example of an Ore extension. The Weyl algebra is isomorphic to the quotient of the free algebra on two generators, X and Y, by the ideal generated by the element
The Weyl algebra is the first in an infinite family of algebras, also known as Weyl algebras. The n th Weyl algebra, An, is the ring of differential operators with polynomial coefficients in n variables. It is generated by Xi and ∂Xi, 1=i = 1, , n.
Weyl algebras are named after Hermann Weyl, who introduced them to study the Heisenberg uncertainty principle in quantum mechanics. It is a quotient of the universal enveloping algebra of the Heisenberg algebra, the Lie algebra of the Heisenberg group, by setting the central element of the Heisenberg algebra (namely [X,Y]) equal to the unit of the universal enveloping algebra (called 1 above). The Weyl algebra is also referred to as the symplectic Clifford algebra. Weyl algebras represent for symplectic bilinear forms the same structure that Clifford algebras represent for non degenerate symmetric bilinear forms.
Алгебры Вейля названы в честь Германна Вейля, который ввел их для изучения принципа неопределенности Гейзенберга в квантовой механике. Это фактор универсальной огибающей алгебры алгебры Гейзенберга, алгебры Ли группы Гейзенберга, полученный путем приравнивания центрального элемента алгебры Гейзенберга (а именно [X, Y]) к единице универсальной огибающей алгебры (обозначенной выше как 1). Алгебра Вейля также называется симплектической алгеброй Клиффорда. Алгебры Вейля представляют для симплектических билинейных форм ту же структуру, что и алгебры Клиффорда для невырожденных симметричных билинейных форм.
In abstract algebra, the Weyl algebra is the ring of differential operators with polynomial coefficients (in one variable), namely expressions of the form
More precisely, let F be the underlying field, and let F[X] be the ring of polynomials in one variable, X, with coefficients in F. Then each fi lies in F[X], ∂X is the derivative with respect to X, and the algebra is generated by X and ∂X. The Weyl algebra is an example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring. It is also a noncommutative example of a domain, and an example of an Ore extension. The Weyl algebra is isomorphic to the quotient of the free algebra on two generators, X and Y, by the ideal generated by the element
The Weyl algebra is the first in an infinite family of algebras, also known as Weyl algebras. The n th Weyl algebra, An, is the ring of differential operators with polynomial coefficients in n variables. It is generated by Xi and ∂Xi, 1=i = 1, , n.
Weyl algebras are named after Hermann Weyl, who introduced them to study the Heisenberg uncertainty principle in quantum mechanics. It is a quotient of the universal enveloping algebra of the Heisenberg algebra, the Lie algebra of the Heisenberg group, by setting the central element of the Heisenberg algebra (namely [X,Y]) equal to the unit of the universal enveloping algebra (called 1 above). The Weyl algebra is also referred to as the symplectic Clifford algebra. Weyl algebras represent for symplectic bilinear forms the same structure that Clifford algebras represent for non degenerate symmetric bilinear forms.
Свойства алгебры Вейла
В случае, если основное поле F имеет характеристику ноль, n-я алгебра Вейля является простой ноэтерианской областью. Она имеет глобальную размерность n, в отличие от кольца, которое она деформирует, Sym(V), имеющего глобальную размерность 2n. У неё нет конечномерных представлений. Хотя это следует из простоты, это можно показать более непосредственно, взяв след σ(X) и σ(Y) для некоторого конечномерного представления σ (где 1 = [X, Y] = 1). Поскольку след коммутатора равен нулю, а след тождественного оператора равен размерности представления, представление должно быть нулевой размерности. Фактически, существуют утверждения, более сильные, чем отсутствие конечномерных представлений. Для любого конечно порожденного модуля An M существует соответствующая подвариантность Char(M) в V × V*, называемая «характерной разновидностью», размер которой приблизительно соответствует размеру M (конечномерный модуль будет иметь характеристическую разновидность размерности нуль). Неравенство Бернштейна утверждает, что для M, отличного от нуля,
Еще более сильным утверждением является теорема Габбера, которая гласит, что Char(M) является коизотропной подвариантностью V × V* относительно естественной симплектической формы.
Положительная характеристика
Ситуация существенно отличается в случае алгебры Вейля над полем характеристики p > 0. В этом случае, для любого элемента D алгебры Вейля, элемент D<sup>p</sup> является центральным, и следовательно, алгебра Вейля имеет очень большой центр. Фактически, она является конечно порожденным модулем над своим центром; более того, это алгебра Азумайи над своим центром. Как следствие, существует множество конечномерных представлений, все из которых построены из простых представлений размерности p.
Центр постоянный
Центром алгебры Вейля является поле констант. Для любого элемента из центра, влечет за собой для всех и влечет за собой для всех . Таким образом, является константой.
Обобщения
Для получения более подробной информации об этой квантизации в случае n = 1 (и об обобщении с использованием преобразования Фурье на класс интегрируемых функций, более широкий, чем класс полиномиальных функций), обратитесь к статье о преобразовании Вигнера — Вейля. Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда обладают дополнительной структурой * -алгебры и могут быть объединены как четные и нечетные компоненты супералгебры, как обсуждается в контексте алгебр CCR и CAR.
Сродственные сорта
Вейлевские алгебры также обобщаются в случае алгебраических многообразий. Рассмотрим кольцо многочленов. Тогда дифференциальный оператор определяется как композиция линейных дифференцирований от . Это можно явно описать как факторкольцо.
Then a differential operator is defined as a composition of linear derivations of This can be described explicitly as the quotient ring