Кіріспе
Математикалық топтың немесе элементтерімен құрылған кіші топтың кардиналдығы – топтық теориядағы реттік қатынасы бар топтар. Математикада, шекті топтың реті – оның элементтерінің саны. Егер топ шекті болмаса, оның реті шексіз деп айтылады. Топтың элементінің реті (кезең ұзындығы немесе кезең деп те аталады) – элемент құратын кіші топтың реті. Егер топтық амал көбейту арқылы белгіленсе, онда топтың a элементінің реті – 1=a^(m) = e теңдігі орындалатын ең кіші оң бүтін сан m болады, мұнда e – топтың бейтарап элементін білдіреді, ал a^(m) – a-ның m көшірмесінің көбейтіндісін білдіреді. Егер мұндай m болмаса, a-ның реті шексіз. G тобының реті ord(G) немесе |G| арқылы, ал a элементінің реті ord(a) немесе |a| арқылы, <a> белгісінің орнына жазылады, мұнда <a> – құрылған топты білдіреді. Лагранж теоремасы бойынша, G шекті тобының кез келген H кіші тобы үшін кіші топтың реті топтың ретіне бөлінеді; яғни, |H| саны |G| санының бөлгіші болады. Атап айтқанда, кез келген элементтің реті |a| саны |G| санының бөлгіші болып табылады.
order in group theory
groups with an ordering relation
In mathematics, the order of a finite group is the number of its elements. If a group is not finite, one says that its order is infinite. The order of an element of a group (also called period length or period) is the order of the subgroup generated by the element. If the group operation is denoted as a multiplication, the order of an element a of a group, is thus the smallest positive integer m such that 1=a^(m) = e, where e denotes the identity element of the group, and a^(m) denotes the product of m copies of a. If no such m exists, the order of a is infinite. The order of a group G is denoted by ord(G) or , and the order of an element a is denoted by ord(a) or , instead of where the brackets denote the generated group. Lagrange's theorem states that for any subgroup H of a finite group G, the order of the subgroup divides the order of the group; that is, is a divisor of In particular, the order of any element is a divisor of .
Элементтердің реті бойынша санау
G – n реті бар шекті топ болсын, ал d – n-нің бөлгіші. G тобындағы d реті бар элементтер саны φ(d) санының есесінен (мүмкін нөлге тең) тұрады, мұнда φ – Эйлердің тотиенттік функциясы, ол d-ден артық емес және оған өзімен жақын (өзімен ортақ бөлгіші 1) оң бүтін сандардың санын көрсетеді. Мысалы, S3 тобында φ(3) = 2, және 3 реті бар дәл екі элемент бар. Теорема 2 реті бар элементтер туралы пайдалы ақпаратты қамтамасыз етпейді, себебі φ(2) = 1, ал ол d = 6 сияқты күрделі сандар үшін шектеулі пайдалы, өйткені φ(6) = 2, ал S3 тобында 6 реті бар элементтер жоқ.
Гомоморфизмдерге қатысты
Топтық гомоморфизмдер элементтердің ретін кемітуге бейім: егер f: G → H гомоморфизм болса және a – G тобының шекті реті бар элементі болса, онда f(a) элементінің реті a элементінің ретін бөледі. Егер f инъективті болса, онда f(a) элементінің реті a элементінің ретімен тең болады. Бұл көбінесе екі нақты берілген топ арасында гомоморфизмдердің немесе инъективті гомоморфизмдердің жоқтығын дәлелдеу үшін қолданылады. (Мысалы, h: S3 → Z5 тривиалды емес гомоморфизмі болуы мүмкін емес, себебі Z5-тегі нөлден басқа әрбір санның реті 5-ке тең, ал бұл S3 тобының элементтерінің 1, 2 және 3-ке тең реттерін бөле алмайды.) Тағы бір салдары – қосымша элементтердің реті бірдей болады.