Порядок группы и порядок элемента: основные понятия и теоремы.
Order (group theory)
Порядок группы в математике: определение, вычисление для конечных и бесконечных групп. Порядок элемента – наименьшая степень, дающая единицу. Теория групп.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Кардинальность математической группы или подгруппы, порожденной элементом – понятие из теории групп. Группы с отношением порядка.
Cardinality of a mathematical group, or of the subgroup generated by an element
order in group theory
groups with an ordering relation
В математике порядок конечной группы – это число её элементов. Если группа бесконечна, то говорят, что её порядок бесконечен. Порядок элемента группы (также называемый длиной периода или периодом) – это порядок подгруппы, порожденной этим элементом. Если групповая операция обозначается умножением, то порядок элемента *a* группы – это наименьшее положительное целое число *m*, такое что 1 = *a*<sup>*m*</sup> = *e*, где *e* обозначает нейтральный элемент группы, а *a*<sup>*m*</sup> обозначает произведение *m* копий *a*. Если такого *m* не существует, то порядок *a* бесконечен. Порядок группы *G* обозначается ord(*G*) или |*G*|, а порядок элемента *a* обозначается ord(*a*) или |*a*|, вместо <*a*> где угловые скобки обозначают порожденную группу. Теорема Лагранжа утверждает, что для любой подгруппы *H* конечной группы *G* порядок подгруппы делит порядок группы; то есть |*H*| является делителем |*G*|. В частности, порядок любого элемента является делителем |*G*|.
In mathematics, the order of a finite group is the number of its elements. If a group is not finite, one says that its order is infinite. The order of an element of a group (also called period length or period) is the order of the subgroup generated by the element. If the group operation is denoted as a multiplication, the order of an element a of a group, is thus the smallest positive integer m such that 1=a^(m) = e, where e denotes the identity element of the group, and a^(m) denotes the product of m copies of a. If no such m exists, the order of a is infinite. The order of a group G is denoted by ord(G) or , and the order of an element a is denoted by ord(a) or , instead of where the brackets denote the generated group. Lagrange's theorem states that for any subgroup H of a finite group G, the order of the subgroup divides the order of the group; that is, is a divisor of In particular, the order of any element is a divisor of .
Подсчет по порядку элементов
Предположим, G — конечная группа порядка n, а d — делитель n. Количество элементов порядка d в G кратно φ(d) (возможно, равно нулю), где φ — функция Эйлера, определяющая количество положительных целых чисел, не превосходящих d и взаимно простых с ним. Например, для группы S3, φ(3) = 2, и в ней ровно два элемента порядка 3. Теорема не предоставляет полезной информации об элементах порядка 2, поскольку φ(2) = 1, и имеет ограниченную применимость для составных значений d, таких как d = 6, так как φ(6) = 2, а в S3 нет элементов порядка 6.
Suppose G is a finite group of order n, and d is a divisor of n. The number of order d elements in G is a multiple of φ(d) (possibly zero), where φ is Euler's totient function, giving the number of positive integers no larger than d and coprime to it. For example, in the case of S3, φ(3) = 2, and we have exactly two elements of order 3. The theorem provides no useful information about elements of order 2, because φ(2) = 1, and is only of limited utility for composite d such as d = 6, since φ(6) = 2, and there are zero elements of order 6 in S3.
В отношении гомоморфизмов
Групповые гомоморфизмы обычно уменьшают порядки элементов: если f: G → H — гомоморфизм, и a — элемент группы G конечного порядка, то порядок f(a) делит порядок a. Если f инъективен, то порядок f(a) равен порядку a. Это часто можно использовать для доказательства отсутствия гомоморфизмов или инъективных гомоморфизмов между двумя заданными группами. (Например, не существует нетривиального гомоморфизма h: S3 → Z5, поскольку каждый элемент Z5, отличный от нуля, имеет порядок 5, который не делит порядки 1, 2 и 3 элементов в S3.) Еще одним следствием является то, что сопряженные элементы имеют одинаковый порядок.
Group homomorphisms tend to reduce the orders of elements: if f: G → H is a homomorphism, and a is an element of G of finite order, then ord(f(a)) divides ord(a). If f is injective, then ord(f(a)) = ord(a). This can often be used to prove that there are no homomorphisms or no injective homomorphisms, between two explicitly given groups. (For example, there can be no nontrivial homomorphism h: S3 → Z5, because every number except zero in Z5 has order 5, which does not divide the orders 1, 2, and 3 of elements in S3.) A further consequence is that conjugate elements have the same order.