Кіріспе
Математикада Коэн-Макколей сақинасы – жергілікті тең өлшемділік сияқты, тегіс алгебралық санның кейбір алгебралық-геометриялық қасиеттеріне ие коммутативтік сақина. Шартты болжамдар бойынша, жергілікті сақина Коэн-Макколей болады, егер ол тұрақты жергілікті сақинаның үстінде шекті түрде жасалған бос модуль болса. Коэн-Макколей сақиналары коммутативтік алгебрада маңызды рөл атқарады: олар өте кең класс құрайды, бірақ олар көп жағынан жақсы зерттелген. Олар полиномдық сақиналар үшін аралас еместік теоремасын дәлелдеген және формальды қуат қатарлары сақиналары үшін аралас еместік теоремасын дәлелдеген ғалымдардың есімдерімен аталады. Барлық Коэн-Макколей сақиналары аралас еместік қасиетіне ие. Нотерлік жергілікті сақиналар үшін келесі кіріктірулер тізбегі бар.
Анықтама
Коммутативті Ноэтериандық жергілікті сақина R үшін, шекті (яғни шекті түрде туындыланған) R модулі Коэн-Маколей модулі болып табылады, егер (жалпы жағдайда, бізде: , модульдердің белгілі бір түрінің тереңдігі мен өлшемі арасындағы байланыс үшін Auslander-Buchsbaum формуласын қараңыз). Екінші жағынан, R өзінің модулі болып табылады, сондықтан R Коэн-Маколей сақинасы деп атаймыз, егер ол R модулі ретінде Коэн-Маколей модулі болса. Максималды Коэн-Маколей модулі – бұл Коэн-Маколей модулі M, мұндағы жоғарыдағы анықтама Ноэтериандық жергілікті сақиналар үшін еді. Бірақ біз анықтаманы жалпы Ноэтериандық сақинаға кеңейте аламыз: Егер R коммутативті Ноэтериандық сақина болса, онда R модулі M Коэн-Маколей модулі деп аталады, егер ол барлық максималды идеалдар үшін Коэн-Маколей модулі болса (Егер нөлдік модульдерді Коэн-Маколей деп анықтамасақ, бұл дөңгелек анықтама болады. Сондықтан осы анықтамада нөлдік модульдерді Коэн-Маколей модульдері деп анықтаймыз). Енді, осы сақиналар үшін максималды Коэн-Маколей модульдерін анықтау үшін, R-дің әрбір максималды идеалы үшін M осындай модуль болуы керек. Жергілікті жағдай сияқты, R Коэн-Маколей сақинасы болады, егер ол өзінің модулі ретінде Коэн-Маколей модулі болса.
The above definition was for a Noetherian local rings. But we can expand the definition for a more general Noetherian ring: If is a commutative Noetherian ring, then an R module M is called Cohen–Macaulay module if is a Cohen Macaulay module for all maximal ideals (This is a kind of circular definition unless we define zero modules as Cohen Macaulay. So we define zero modules as Cohen Macaulay modules in this definition.) Now, to define maximal Cohen Macaulay modules for these rings, we require that to be such an module for each maximal ideal of R. As in the local case, R is a Cohen Macaulay ring if it is a Cohen Macaulay module (as an module on itself).
Коэн-Макколей схемалары
Жергілікті Ноэтериандық схема, егер кез келген нүктесіндегі жергілікті сақина Коэн-Маколей сақинасы болса, Коэн-Маколей деп аталады.
Коэн-Мэколей қисықтары
Коэн-Маколей қисықтары Коэн-Маколей схемаларының ерекше жағдайы болып табылады, бірақ олар қисықтардың модульдік кеңістіктерін тығыздау үшін пайдалы, онда тегіс локустың шекарасы Коэн-Маколей қисықтарынан тұрады. Қисықтардың Коэн-Маколей екенін анықтау үшін пайдалы критерий бар. Егер және тек қана оларда енген жай сандар болмаса, онда өлшемді схемалар Коэн-Маколей болады. Коэн-Маколей қисықтарындағы ерекшеліктерді жазықтық қисық жағдайында қарастырып толық жіктеуге болады.
Үлгі емес
Критерийді пайдаланып, еншіленген нүктелері бар қисықтарды құрастыру арқылы Коэн-Маколей қисығы емес қисықтардың қарапайым мысалдарына келуге болады. Мысалы, схема
негізгі идеалдарға жіктеледі. Геометриялық тұрғыдан қарағанда, бұл бастапқы нүктеде еншіленген нүктесі бар ось, оны "майлы нүкте" деп қарастыруға болады. Тегіс проективтік жазықтық қисығын берілген жағдайда , сол әдіс қолданылып, еншіленген нүктесі бар қисық құрастырылуы мүмкін: қисығындағы нүктесінің идеалын табыңыз және оны идеалына көбейтіңіз. Содан
қисығы нүктесінде еншіленген нүктесі бар болады.
Тоғысу теориясы
Коэн-Макколей схемалары қиылысу теориясымен ерекше байланысты. Нақтырақ айтқанда, X тегіс түрлік, ал V, W таза өлшемді жабық кіші схемалар болсын. Z схемалық қиылыстың дұрыс компоненті, яғни күтілетін өлшемдегі азайтылмайтын компонент болсын. Егер Z-дің жалпы нүктесіндегі жергілікті сақинасы А Коэн-Макколей болса, онда V және W схемаларының Z бойымен қиылысу көптігі А сақинасының ұзындығы ретінде беріледі:
Жалпы алғанда, осы көптік ұзындығы арқылы сипатталады. Коэн-Макколей сақинасын сипаттайтын негізгі қасиет – оның ұзындығы. Көптігі бірге тең критерий, керісінше, шамамен тұрақты жергілікті сақинаны бірлік көптігі бар жергілікті сақина ретінде сипаттайды.
Керемет тегістілік немесе Хирокана критерийі
Коэн-Макколей сақиналарының ерекше сипаттамалары бар, оларды кейде керемет тегістілік немесе Хиронака критерийі деп атайды. R сақинасы, R-де қамтылған кейбір тұрақты жергілікті сақинаның модулі ретінде шекті түрде құрылған жергілікті сақина болсын. Мұндай субринг, Нотер нормализациясы леммасы бойынша, кез келген өріс бойынша шекті түрде құрылған алгебраның бірінші идеал бойынша R-дің локализациясы үшін бар; сондай-ақ, R толық болғанда және өріс қамтылғанда немесе R толық домен болғанда да бар. Онда R, егер және тек қана A модулі ретінде тегіс болса, Коэн-Макколей болады; сонымен қатар, R A модулі ретінде еркін деп айтумен де бірдей. Геометриялық тұрғыдан қарағанда, X – K өрісі үстінде шекті типтегі байланысты аффиндік схема (мысалы, аффиндік сорт) болсын. n – X-тің өлшемі болсын. Нотер нормализациясы бойынша, X-тен K өрісіндегі An аффиндік кеңістігіне f шекті морфизм бар. Онда X, егер және тек қана f-тің барлық талшықтарының дәрежесі бірдей болса, Коэн-Макколей болады. Бұл қасиеттің f таңдауына тәуелсіз екендігі таң қалдырады. Соңында, сыныпталған сақиналар үшін керемет тегістіктің нұсқасы бар. R – K өрісі үстінде шекті түрде құрылған коммутативті сыныпталған алгебра болсын, онда әрқашан A ⊆ R сыныпталған полиномиялық субрингі (әртүрлі дәрежедегі генераторлармен) болады, сондықтан R, A модулі ретінде шекті түрде құрылады. Онда R, егер және тек қана R, A модулі ретінде еркін болса, Коэн-Макколей болады. Тағы да, бұл еркіндіктің полиномиялық субринг A таңдауына тәуелсіз екені көрінеді.
Finally, there is a version of Miracle Flatness for graded rings. Let R be a finitely generated commutative graded algebra over a field K,
There is always a graded polynomial subring A ⊂ R (with generators in various degrees) such that R is finitely generated as an A module. Then R is Cohen–Macaulay if and only if R is free as a graded A module. Again, it follows that this freeness is independent of the choice of the polynomial subring A.
Араласпайлық теоремасы
Ноэтериан сақинасының I идеалы, егер I идеалының биіктігі, A/I сақинасының барлық байланысты P жай сандарының биіктігіне тең болса, араласқан деп аталады. (Бұл A/I сақинасының тең өлшемді екенін айтудан күштірек; төменде қараңыз.) Араласпайтын теорема, егер оның биіктігіне тең элементтер санымен құрылған әрбір I идеалы араласқан болса, A сақинасы үшін орындалады деп айтылады. Ноэтериан сақинасы Коэн-Маколей болып табылады, егер және тек қана қоспасыздық теоремасы оған қатысты болса. Араласпайтын теорема, әсіресе, нөлдік идеалға (нөлдік элементтермен құрылған идеалға) қатысты, сондықтан Коэн-Маколей сақинасы тең өлшемді сақина болады; шын мәнінде, күшті мағынада: кіріктірілген компонент жоқ және әрбір компоненттің кодименсиясы бірдей. Сондай-ақ қараңыз: квази араласқан емес сақина (идеалдың интегралды жабылуы үшін араласпайтын теорема орындалатын сақина).
Қарсы үлгілер
Егер K өріс болса, онда сақина R = K[x,y]/(x²,xy) (қосылған нүктесі бар түзудің координаттық сақинасы) Коэн-Маколей емес. Бұл, мысалы, Miracle Flatness арқылы шығады: R, полиномиялық сақина A = K[y] бойынша шекті, y ≠ 0-мен аффиндік түзу Spec A нүктелері бойынша 1-дәрежелі, бірақ y = 0 нүктесі бойынша 2-дәрежелі (себебі K векторлық кеңістігі K[x]/(x²) 2-өлшемді). Егер K өріс болса, онда K[x,y,z]/(xy,xz) сақинасы (сызық пен жазықтықтың бірігуінің координаттық сақинасы) қысқартылған, бірақ теңөлшемді емес, сондықтан Коэн-Маколей емес. Бөлушіні x-z-ге бөлгенде алдыңғы мысал шығады. Егер K өріс болса, онда сақина R = K[w,x,y,z]/(wy,wz,xy,xz) (бір нүктеде қиылысатын екі жазықтықтың бірігуінің координаттық сақинасы) қысқартылған және теңөлшемді, бірақ Коэн-Маколей емес. Мұны дәлелдеу үшін Хартшорнның байланыс теоремасын қолдануға болады: егер R кемінде 2 өлшемді Коэн-Маколей жергілікті сақинасы болса, онда Spec R, оның жабық нүктесінен кемітілгенде байланысты болады. Екі Коэн-Маколей сақинасының Сегре көбейтіндісі міндетті түрде Коэн-Маколей бола бермейді.
Гротендиктің дуалдығы
Коэн-Макколей шартының бір мағынасын когерентті дуалдық теориясында көруге болады. X-тегі шешілдердің туынды санатына бастапқыда жататын "дуализациялық кешен", егер ол бір шешілмен бейнеленсе, онда X-тегі сорт немесе схема Коэн-Макколей болып саналады. Горенштейн болудың күшті қасиеті – бұл шешілдің түзулігін білдіреді. Атап айтқанда, кез келген жүйелі схема Горенштейн болып табылады. Осылайша, Серр дуалдығы немесе Горенштейн немесе Коэн-Макколей схемалары үшін Гротендик жергілікті дуалдығы сияқты дуалдық теоремаларының тұжырымдары, жүйелі схемалар немесе тегіс сорттар үшін болатын қарапайымдықты сақтайды.