Введение

В математике кольцо Коэна-Маколея — это коммутативное кольцо, обладающее некоторыми алгебро-геометрическими свойствами гладкого многообразия, такими как локальная эквидименсиональность. При мягких предположениях локальное кольцо является кольцом Коэна-Маколея тогда и только тогда, когда оно является конечно порожденным свободным модулем над регулярным локальным подкольцом. Кольца Коэна-Маколея играют центральную роль в коммутативной алгебре: они образуют очень широкий класс, и при этом хорошо изучены во многих аспектах. Они названы в честь [имя], доказавшего теорему об однородности для полиномиальных колец, и в честь [имя], доказавшего теорему об однородности для формальных степенных рядов. Все кольца Коэна-Маколея обладают свойством однородности. Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.

Определение

Для коммутативного ноэтерианского локального кольца R конечный (то есть конечно порожденный) R-модуль является модулем Коэна — Маколея, если (в общем случае выполняется: , см. формулу Аусландер — Буксбаума для связи между глубиной и размерностью определенного типа модулей). С другой стороны, R является модулем над собой, поэтому кольцо R называется кольцом Коэна — Маколея, если оно является модулем Коэна — Маколея как R-модуль. Максимальный модуль Коэна — Маколея — это модуль Коэна — Маколея M, такой, что вышеуказанное определение относится к ноэтерианским локальным кольцам. Но мы можем расширить определение для более общего ноэтерианского кольца: если R — коммутативное ноэтерианское кольцо, то R-модуль M называется модулем Коэна — Маколея, если M является модулем Коэна — Маколея для всех максимальных идеалов (это своего рода круговое определение, если мы не определим нулевой модуль как модуль Коэна — Маколея. Поэтому мы определяем нулевой модуль как модуль Коэна — Маколея в этом определении). Теперь, чтобы определить максимальные модули Коэна — Маколея для этих колец, требуется, чтобы M был таким модулем для каждого максимального идеала R. Как и в локальном случае, R является кольцом Коэна — Маколея, если оно является модулем Коэна — Маколея (как модулем над собой).

Схемы Коэна-Мэколея

Мы говорим, что локально нётерово схема является схемой Коэна-Маколея, если в каждой точке её локальное кольцо является кольцом Коэна-Маколея.

Кривые Коэна-Мэколея

Кривые Коэна-Мэколея являются частным случаем схем Коэна-Мэколея, но полезны для компактификации модульных пространств кривых, где граница гладкой части состоит из кривых Коэна-Мэколея. Существует полезный критерий для определения, являются ли кривые Коэна-Мэколея. Схемы размерности *n* являются Коэна-Мэколея тогда и только тогда, когда они не имеют вложенных простых множителей. Сингулярности, возникающие в кривых Коэна-Мэколея, могут быть полностью классифицированы путем рассмотрения случая плоской кривой.

Непримеры

Используя критерий, легко привести примеры не-Коэна–Макаулея кривых, строя кривые с внедрёнными точками. Например, схема

имеет разложение на простые идеалы. Геометрически это ось с внедрённой точкой в начале координат, которую можно рассматривать как толстую точку. Для данной гладкой проективной кривой плоскости , кривую с внедрённой точкой можно построить, используя ту же технику: найдите идеал точки в и умножьте его на идеал . Тогда

является кривой с внедрённой точкой в .

Теория пересечения

Схемы Коэна-Маколея имеют особое отношение к теории пересечений. В частности, пусть X — гладкое многообразие, а V и W — замкнутые подсхемы чистой размерности. Пусть Z — собственная компонента схемы-теоретического пересечения, то есть необратимая компонента ожидаемой размерности. Если локальное кольцо A в обобщенной точке Z является кольцом Коэна-Маколея, то множественность пересечения V и W вдоль Z задается как длина A.

В общем случае, эта множественность задается как длина, что по сути характеризует кольцо Коэна-Маколея; см. #Свойства. Критерий множественности один, с другой стороны, приблизительно характеризует регулярное локальное кольцо как локальное кольцо множественности один.

Чудесная плоскость или критерий Хиронаки

Существует замечательная характеристика колец Коэна-Мэколея, иногда называемая «чудесной плоскостью» или критерием Хиронаки. Пусть R — локальное кольцо, конечно порожденное как модуль над некоторым регулярным локальным кольцом A, содержащимся в R. Такой подкольцо существует для любой локализации R в простом идеале конечно порожденной алгебры над полем, согласно лемме нормализации Ноэтера; оно также существует, когда R является полным и содержит поле, или когда R является полным областью. Тогда R является кольцом Коэна-Мэколея тогда и только тогда, когда оно плоское как модуль над A; это также эквивалентно тому, что R свободно как модуль над A. Геометрическая переформулировка следующая: пусть X — связная аффинная схема конечного типа над полем K (например, аффинное многообразие). Пусть n — размерность X. По нормализации Ноэтера существует конечный морфизм f из X в аффинное пространство An над K. Тогда X является кольцом Коэна-Мэколея тогда и только тогда, когда все волокна f имеют одинаковую степень. Примечательно, что это свойство не зависит от выбора f. Наконец, существует версия «чудесной плоскости» для градуированных колец. Пусть R — конечно порожденная коммутативная градуированная алгебра над полем K. Всегда существует градуированное полиномиальное подкольцо A ⊂ R (с образующими различных степеней), такое что R конечно порождено как модуль над A. Тогда R является кольцом Коэна-Мэколея тогда и только тогда, когда R свободно как градуированный модуль над A. Снова следует, что эта свобода не зависит от выбора полиномиального подкольца A.

Теорема о несмешанности

Идеал I ноэтерианского кольца A называется не смешанным по высоте, если высота I равна высоте каждого ассоциированного простого идеала P кольца A/I. (Это условие сильнее, чем требование, чтобы кольцо A/I было равноразмерным; см. ниже.) Говорят, что теорема о несмешанности справедлива для кольца A, если каждый идеал I, порожденный числом элементов, равным его высоте, является не смешанным. Ноэтерианское кольцо является кольцом Коэна–Маколея тогда и только тогда, когда для него справедлива теорема о несмешанности. Теорема о несмешанности в частности применима к нулевому идеалу (идеалу, порожденному нулевым числом элементов), и, следовательно, утверждает, что кольцо Коэна–Маколея является равноразмерным кольцом; более того, в строгом смысле: оно не содержит вложенных компонент, и каждая компонента имеет одну и ту же коразмерность. См. также: квази-несмешанное кольцо (кольцо, для которого теорема о несмешанности справедлива для интегрального замыкания идеала).

Контрпримеры

Если K – поле, то кольцо R = K[x,y]/(x²,xy) (координатное кольцо прямой с выделенной точкой) не является кольцом Коэна–Маколея. Это следует, например, из критерия плоской финильности: R конечно над полиномиальным кольцом A = K[y], со степенью 1 над точками аффинной прямой Spec A, где y ≠ 0, но со степенью 2 над точкой y = 0 (потому что K-векторное пространство K[x]/(x²) имеет размерность 2). Если K – поле, то кольцо K[x,y,z]/(xy,xz) (координатное кольцо объединения прямой и плоскости) редуцировано, но не однородно, и, следовательно, не является кольцом Коэна–Маколея. Взятие частного по ненулевому делителю x – z дает предыдущий пример. Если K – поле, то кольцо R = K[w,x,y,z]/(wy,wz,xy,xz) (координатное кольцо объединения двух плоскостей, пересекающихся в точке) редуцировано и однородно, но не является кольцом Коэна–Маколея. Для доказательства этого можно использовать теорему связности Хартсхорна: если R – локальное кольцо Коэна–Маколея размерности не менее 2, то Spec R минус его замкнутая точка связна. Произведение Сегре двух колец Коэна–Маколея не обязательно является кольцом Коэна–Маколея.

Двойственность Гротендика

Одно из значений условия Коэна-Мэколея можно увидеть в теории когерентной дуальности. Многообразие или схема X является Коэна-Мэколея, если "дуализирующий комплекс", который априори лежит в производной категории пучков на X, представляется единственным пучком. Более сильное свойство быть Горенштейном означает, что этот пучок является прямой суммой одномерных пучков (линейным пучком). В частности, каждая регулярная схема является Горенштейном. Таким образом, формулировки теорем двойственности, таких как двойственность Серра или локальная двойственность Гротендика для Горенштейновых или Коэна-Мэколея схем, сохраняют некоторую простоту, характерную для регулярных схем или гладких многообразий.