Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық геометрияда гиперэллиптік қисық – g > 1 түріндегі алгебралық қисық, келесі түрде берілген теңдеу арқылы:
In algebraic geometry, a hyperelliptic curve is an algebraic curve of genus g > 1, given by an equation of the form
мұнда f(x) – n = 2g + 1 > 4 немесе n = 2g + 2 > 4 дәрежелі, n мезгілсіз түбірі бар көпмүшелік, ал h(x) – g + 2-ден төмен дәрежелі көпмүшелік (егер негізгі өрістің сипаттамасы 2 болмаса, h(x) = 0 деп алуға болады). Гиперэллиптік функция – мұндай қисықтың функциялық өрісінің немесе қисықтағы Якобиандық санның элементі; бұл екі түсінік эллиптік функциялар үшін бірдей, бірақ гиперэллиптік функциялар үшін әртүрлі.
where f(x) is a polynomial of degree n = 2g + 1 > 4 or n = 2g + 2 > 4 with n distinct roots, and h(x) is a polynomial of degree < g + 2 (if the characteristic of the ground field is not 2, one can take h(x) = 0). A hyperelliptic function is an element of the function field of such a curve, or of the Jacobian variety on the curve; these two concepts are identical for elliptic functions, but different for hyperelliptic functions.
Ұрпағы
Көпжүзділіктің дәрежесі қисықтың туындысын анықтайды: 2g + 1 немесе 2g + 2 дәрежелі көпжүзділік g туындысы бар қисық береді. Егер дәреже 2g + 1-ге тең болса, онда қисық жорамал гиперэллиптік қисық деп аталады. Ал 2g + 2 дәрежелі қисық нақты гиперэллиптік қисық деп аталады. Бұл туынды туралы айғақ g = 0 немесе 1 үшін де қолданылады, бірақ бұл ерекше жағдайлар «гиперэллиптік» деп аталмайды. g = 1 болған жағдайда (егер ерекше нүкте таңдалса), мұндай қисық эллипстік қисық деп аталады.
The degree of the polynomial determines the genus of the curve: a polynomial of degree 2g + 1 or 2g + 2 gives a curve of genus g. When the degree is equal to 2g + 1, the curve is called an imaginary hyperelliptic curve. Meanwhile, a curve of degree 2g + 2 is termed a real hyperelliptic curve. This statement about genus remains true for g = 0 or 1, but those special cases are not called "hyperelliptic". In the case g = 1 (if one chooses a distinguished point), such a curve is called an elliptic curve.
Риманның Хурвиц формуласын қолдану
Риманн-Хурвиц формуласын қолданып, g туысты гиперэллиптік қисық n = 2g + 2 дәрежелі теңдеумен сипатталады. f: X → P1 – тармақталу дәрежесі 2-ге тең тармақталған жабын, мұнда X – g туысы бар қисық, ал P1 – Риман сферасы. g1 = g және g0 – P1-дің туысы ( = 0 ) болсын, онда Риманн-Хурвиц формуласы былай түрінде көрінеді:
Using the Riemann–Hurwitz formula, the hyperelliptic curve with genus g is defined by an equation with degree n = 2g + 2. Suppose f : X → P1 is a branched covering with ramification degree 2, where X is a curve with genus g and P1 is the Riemann sphere. Let g1 = g and g0 be the genus of P1 ( = 0 ), then the Riemann Hurwitz formula turns out to be
мұнда s – X қисығындағы барлық тармақталған нүктелер бойынша алынады. Тармақталған нүктелердің саны n-ге тең, және әр тармақталған нүктеде s, es = 2, сондықтан формула келесідей болады:
where s is over all ramified points on X. The number of ramified points is n, and at each ramified point s we have es = 2, so the formula becomes
осылайша n = 2g + 2.
so n = 2g + 2.
Пайдалануы және қолданылуы
2-тұқымдағы барлық қисықтар гипереллиптикалық, бірақ ≥3-тұқымдағы жалпы қисық гипереллиптикалық емес. Бұл модульдік кеңістіктің өлшемін тексеру арқылы эвристикалық түрде көрінеді. n = 2g + 2 тұрақтыларын санау, n нүктелер жиынтығы проективті түзудің автоморфизмдерінің әрекетіне (2g + 2) - 3 еркіндік дәрежесіне ие, бұл 3g - 3-тен аз, егер g 2 болмаса, g туысындағы қисықтың модульдерінің саны. Абельдік түрлер немесе қисықтардың модульдік кеңістігіндегі гиперэллиптік локус туралы көбірек мәлімделген, бірақ қарапайым модельдермен гиперэллиптикалық емес қисықтарды көрсету қиын. Гиперэллиптикалық қисықтардың геометриялық сипаттамаларының бірі Вейерштрасс нүктелері арқылы беріледі. Гиперэллиптикалық емес қисықтардың егжей-тегжейлі геометриясы каноникалық қисықтар теориясынан оқылады, каноникалық бейнелеу гиперэллиптикалық қисықтарда 2-ге 1, ал g > 2 үшін 1-ге 1 тең болады. Тригональды қисықтар - бұл көпмүшенің квадрат түбірін емес, текше түбірін алуға сәйкес келетін қисықтар. Рационалды функциялық өрістің квадраттық кеңейтулері арқылы берілген анықтама 2-характерден басқа өрістер үшін жалпы жарамды; егер кеңейту ажыратылатын деп есептелсе, барлық жағдайларда проективті түзудің бұтақталған қос жамылғысы ретінде геометриялық анықтама қолжетімді. Гиперэллиптикалық қисықтар дискретті логарифм мәселесіне негізделген криптожүйелер үшін гиперэллиптикалық қисық криптографиясында қолданылуы мүмкін. Гиперэллиптикалық қисықтар сондай-ақ Абельдік дифференциалдардың модульдік кеңістігінің белгілі бір қабаттарының тұтас байланысты компоненттерін құрайды. 2-тұқымдағы қисықтардың гипереллиптикалық қасиеті Громавтың толтыру ауданы туралы болжамын 1-тұқымды толтырулар үшін дәлелдеуге қолданылды.
All curves of genus 2 are hyperelliptic, but for genus ≥ 3 the generic curve is not hyperelliptic. This is seen heuristically by a moduli space dimension check. Counting constants, with n = 2g + 2, the collection of n points subject to the action of the automorphisms of the projective line has (2g + 2) − 3 degrees of freedom, which is less than 3g − 3, the number of moduli of a curve of genus g, unless g is 2. Much more is known about the hyperelliptic locus in the moduli space of curves or abelian varieties, though it is harder to exhibit general non hyperelliptic curves with simple models. One geometric characterization of hyperelliptic curves is via Weierstrass points. More detailed geometry of non hyperelliptic curves is read from the theory of canonical curves, the canonical mapping being 2 to 1 on hyperelliptic curves but 1 to 1 otherwise for g > 2. Trigonal curves are those that correspond to taking a cube root, rather than a square root, of a polynomial. The definition by quadratic extensions of the rational function field works for fields in general except in characteristic 2; in all cases the geometric definition as a ramified double cover of the projective line is available, if the extension is assumed to be separable. Hyperelliptic curves can be used in hyperelliptic curve cryptography for cryptosystems based on the discrete logarithm problem. Hyperelliptic curves also appear composing entire connected components of certain strata of the moduli space of Abelian differentials. Hyperellipticity of genus 2 curves was used to prove Gromov's filling area conjecture in the case of fillings of genus =1.
Жіктеу
Берілген g туысының гиперэллиптік қисықтары модульдік кеңістікке ие, ол 2g+2 дәрежелі бинарлық форманың инварианттар сақинасымен тығыз байланысты.
Hyperelliptic curves of given genus g have a moduli space, closely related to the ring of invariants of a binary form of degree 2g+2.
Тарих
Гиперэллиптік функциялар алғаш рет Адольф Гепель (1812-1847) өзінің соңғы мақаласында «Abelsche Transcendenten erster Ordnung» (бірінші реттік Абельдік трансценденттер) (Journal für die reine und angewandte Mathematik, 35-том, 1847 ж.) жариялаған. Сол мәселе бойынша тәуелсіз түрде Иоганн Г. Розенхайн жұмыс істеді және «Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung» (Mémoires des savants және т.б., 11-том, 1851 ж.) жариялады.
Hyperelliptic functions were first published by Adolph Göpel (1812 1847) in his last paper Abelsche Transcendenten erster Ordnung (Abelian transcendents of first order) (in Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 35, 1847). Independently Johann G. Rosenhain worked on that matter and published Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (in Mémoires des savants etc., vol. 11, 1851).