Введение

В алгебраической геометрии гиперэллиптическая кривая — это алгебраическая кривая рода g > 1, заданная уравнением вида

где f(x) — многочлен степени n = 2g + 1 > 4 или n = 2g + 2 > 4 с n различными корнями, а h(x) — многочлен степени < g + 2 (если характеристика базового поля не равна 2, можно взять h(x) = 0). Гиперэллиптическая функция — это элемент поля функций такой кривой или якобиана кривой; эти два понятия совпадают для эллиптических функций, но различны для гиперэллиптических функций.

Род

Степень многочлена определяет род кривой: многочлен степени 2g + 1 или 2g + 2 задает кривую рода g. Если степень равна 2g + 1, кривая называется мнимой гиперэллиптической кривой. Кривая степени 2g + 2 называется вещественной гиперэллиптической кривой. Это утверждение о роде остаётся верным для g = 0 или 1, но эти особые случаи не называют "гиперэллиптическими". В случае g = 1 (при выборе выделенной точки) такая кривая называется эллиптической кривой.

Используя формулу РиманаХурвица

Используя формулу Римана — Хурвица, гиперэллиптическая кривая рода g определяется уравнением со степенью n = 2g + 2. Предположим, что f : X → P1 — это разветвленное накрытие со степенью ветвления 2, где X — кривая рода g, а P1 — сфера Римана. Пусть g1 = g, а g0 — род P1 ( = 0), тогда формула Римана — Хурвица принимает вид

где суммирование ведется по всем ветвленным точкам s на X. Число ветвленных точек равно n, и в каждой ветвленной точке s выполняется es = 2, следовательно, формула упрощается до

откуда n = 2g + 2.

Возникновение и применение

Все кривые рода 2 гипереллиптические, но для рода ≥ 3 обобщённая кривая не является гипереллиптической. Это можно увидеть эвристически, проверив размерность модульного пространства. Подсчитывая константы при n = 2g + 2, множество n точек, подверженных действию автоморфизмов проективной прямой, имеет (2g + 2) − 3 степени свободы, что меньше, чем 3g − 3, число модулей кривой рода g, если только g не равно 2. О гипереллиптическом локусе в модульном пространстве кривых или абелевых многообразий известно гораздо больше, хотя сложнее продемонстрировать общие негипереллиптические кривые с простыми моделями. Одним из геометрических признаков гипереллиптических кривых является наличие точек Вейерштрасса. Более детальная геометрия негипереллиптических кривых изучается в теории канонических кривых, где каноническое отображение является сюръективным отображением степени 2 на 1 для гипереллиптических кривых, но биективным отображением степени 1 на 1 для g > 2. Тригональные кривые — это те, которые соответствуют извлечению кубического корня, а не квадратного корня, из многочлена. Определение через квадратичные расширения поля рациональных функций работает для полей в общем случае, за исключением характеристики 2; во всех случаях доступно геометрическое определение как разветвлённое двойное накрытие проективной прямой, если расширение предполагается разделимым. Гипереллиптические кривые могут использоваться в криптографии на гипереллиптических кривых для криптосистем, основанных на задаче дискретного логарифмирования. Гипереллиптические кривые также встречаются, формируя целые связные компоненты определённых слоёв модульного пространства абелевых дифференциалов. Гипереллиптичность кривых рода 2 была использована для доказательства гипотезы Громова о площади заполнения в случае заполнений рода = 1.

Классификация

Гиперэллиптические кривые заданного рода g имеют модульное пространство, тесно связанное с кольцом инвариантов бинарной формы степени 2g+2.

История

Гиперэллиптические функции были впервые опубликованы Адольфом Гепелем (1812-1847) в его последней работе Abelsche Transcendenten erster Ordnung (Абелевы трансценденты первого порядка) (в Journal für die reine und angewandte Mathematik, том 35, 1847). Независимо от него Иоганн Г. Розенхайн занимался этим вопросом и опубликовал Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (в Mémoires des savants и т. д., том 11, 1851).