Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Статистикада композициялық деректер – жалпы құрамдас бөліктердің сандық сипаттамалары болып табылады, олар салыстырмалы ақпаратты жеткізеді. Математикалық тұрғыдан композициялық деректер симплекстегі нүктелермен көрсетіледі. Ықтималдықтар, пропорциялар, проценттер және ppm мөлшерімен өлшенетін мәліметтердің бәрі композициялық деректер деп есептелуі мүмкін.
In statistics, compositional data are quantitative descriptions of the parts of some whole, conveying relative information. Mathematically, compositional data is represented by points on a simplex. Measurements involving probabilities, proportions, percentages, and ppm can all be thought of as compositional data.
Тернарлық жер учаскесі
Үш айнымалыдағы құрамы туралы деректерді үштік диаграммалар арқылы көрсетуге болады. Үш айнымалыға қатысты барицентрлік диаграмманы қолдану, үш айнымалының арақатынастарын теңқабырғалы үшбұрыш ішіндегі орналасу ретінде графикалық түрде бейнелейді.
Compositional data in three variables can be plotted via ternary plots. The use of a barycentric plot on three variables graphically depicts the ratios of the three variables as positions in an equilateral triangle.
Қарапайым үлгілік кеңістік
Жалпы, Джон Эйтчисон 1982 жылы композициялық деректерді бір бүтіннің пропорциялары ретінде анықтады. Атап айтқанда, композициялық деректер нүктесі (немесе қысқаша композиция) оң компоненттері бар нақты вектормен көрсетілуі мүмкін. Композициялық деректердің үлгі кеңістігі симплекс болып табылады:
In general, John Aitchison defined compositional data to be proportions of some whole in 1982. In particular, a compositional data point (or composition for short) can be represented by a real vector with positive components. The sample space of compositional data is a simplex:
Ақпарат тек компоненттер арасындағы қатынастар арқылы беріледі, сондықтан композицияның ақпараты кез келген оң тұрақтыға көбейту кезінде сақталады. Сондықтан композициялық деректердің үлгі кеңістігін әрқашан стандартты симплекс деп қарастыруға болады, яғни осы жағдайда стандартты симплекске нормалау жабылу деп аталады және былай белгіленеді:
The only information is given by the ratios between components, so the information of a composition is preserved under multiplication by any positive constant. Therefore, the sample space of compositional data can always be assumed to be a standard simplex, i. e. In this context, normalization to the standard simplex is called closure and is denoted by :
мұнда D – бөліктердің (компоненттердің) саны және – қатар векторды білдіреді.
where D is the number of parts (components) and denotes a row vector.
Ортонормальды негіздер
Айтчисон симплексі шекті өлшемді Хилберт кеңістігін құрағандықтан, симплексте ортонормалды негіздерді салу мүмкін. Кез келген композицияны былай жіктеуге болады:
Since the Aitchison simplex forms a finite dimensional Hilbert space, it is possible to construct orthonormal bases in the simplex. Every composition can be decomposed as follows
мұнда симплексте ортонормалды негіз құрайды. мәндері – берілген негізге қатысты координаталары (ортонормальды және декартылық). Олар изометриялық логарифмдік координаталар деп аталады.
where forms an orthonormal basis in the simplex. The values are the (orthonormal and Cartesian) coordinates of with respect to the given basis. They are called isometric log ratio coordinates .
Сызықтық түрлендірулер
Айтчисон симплексінен нақты кеңістікке өтетін үш жақсы сипатталған изоморфизм бар. Бұл трансформациялардың бәрі сызықтылықты қанағаттандырады және төменде көрсетілгендей.
There are three well characterized isomorphisms that transform from the Aitchison simplex to real space. All of these transforms satisfy linearity and as given below
Қосылмалы логарифм коэффициенті
Қосылмалы логарифм қатынасы (ALR) түрлендіруі – бұл изоморфизм, онда . Бұл былай беріледі. Атауыш компонентін таңдау кездейсоқ, және ол кез келген белгілі компонент бола алады. Бұл түрлендіру химияда pH сияқты өлшемдермен кеңінен қолданылады. Сонымен қатар, бұл көпмүшелік логистикалық регрессия үшін ең көп қолданылатын түрлендіру. ALR түрлендіруі изометрия емес, яғни түрлендірілген мәндердегі қашықтықтар симплекстегі бастапқы құралымдар арасындағы қашықтықтармен сәйкес келмейді.
The additive log ratio (alr) transform is an isomorphism where This is given by
The choice of denominator component is arbitrary, and could be any specified component. This transform is commonly used in chemistry with measurements such as pH. In addition, this is the transform most commonly used for multinomial logistic regression. The alr transform is not an isometry, meaning that distances on transformed values will not be equivalent to distances on the original compositions in the simplex.
Мысалдар
Химияда, құралымдар әр компоненттің молярлық концентрациясы түрінде берілуі мүмкін. Барлық концентрациялардың қосындысы белгісіз болғандықтан, D бөліктің толық құрамы қажет және ол D молярлық концентрациялардың векторы ретінде көрсетіледі. Бұл құралымдарды әр компонентті тиісті тұрақтыға көбейту арқылы салмақтық пайызға айналдыруға болады. Демографияда, қала, қалалардың үлгісінде құрамдық дерек нүктесі болуы мүмкін; халқының 35% христиан, 55% мұсылман, 6% еврей, ал қалған 4% басқалар болса, ол [0,35; 0,55; 0,06; 0,04] төрттікке сәйкес келеді. Деректер жиынтығы қалалар тізіміне сәйкес келеді. Геологияда, әртүрлі минералдардан тұратын тау жынысы, тау жыныстарының үлгісінде құрамдық дерек нүктесі болуы мүмкін; егер тау жынысының 10% бірінші минерал, 30% екінші, ал қалған 60% үшінші минерал болса, ол [0,1; 0,3; 0,6] үштікке сәйкес келеді. Деректер жиынтығы тау жыныстарының үлгісіндегі әр тау жынысы үшін мұндай бір үштік құрайды. Жоғары өнімділік секвенирлеуде алынған деректер әдетте салыстырмалы мөлшерге түрлендіріледі, осылайша оларды құрамдық етеді. Ықтималдық және статистикада, үлгі алу кеңістігінің оқиғаларға бөлінуі, осы оқиғаларға тағайындалған ықтималдықтармен сипатталады. D ықтималдықтың векторы D бөліктен тұратын құралым ретінде қарастырылуы мүмкін. Олардың қосындысы бірге тең болғандықтан, бір ықтималдықты жоюға болады және құралым толық анықталады. Химиометрияда, мұнай майларын жіктеу үшін. Сауалнамада, әртүрлі сұрақтарға жағымды жауап берген адамдардың үлесі пайыздық көрсеткіштермен берілуі мүмкін. Жалпы сома 100 ретінде белгіленгендіктен, D компоненттен тұратын құрамдық векторды тек D-1 компонентті пайдаланып анықтауға болады, ал қалған компоненттің мәні вектордың жалпы сомасы 100-ге тең болуы үшін қажетті пайыздық көрсеткішті құрайды деп есептеледі.
In chemistry, compositions can be expressed as molar concentrations of each component. As the sum of all concentrations is not determined, the whole composition of D parts is needed and thus expressed as a vector of D molar concentrations. These compositions can be translated into weight per cent multiplying each component by the appropriated constant. In demography, a town may be a compositional data point in a sample of towns; a town in which 35% of the people are Christians, 55% are Muslims, 6% are Jews, and the remaining 4% are others would correspond to the quadruple [0.35, 0.55, 0.06, 0.04]. A data set would correspond to a list of towns. In geology, a rock composed of different minerals may be a compositional data point in a sample of rocks; a rock of which 10% is the first mineral, 30% is the second, and the remaining 60% is the third would correspond to the triple [0.1, 0.3, 0.6]. A data set would contain one such triple for each rock in a sample of rocks. In high throughput sequencing, data obtained are typically transformed to relative abundances, rendering them compositional. In probability and statistics, a partition of the sampling space into disjoint events is described by the probabilities assigned to such events. The vector of D probabilities can be considered as a composition of D parts. As they add to one, one probability can be suppressed and the composition is completely determined. In chemometrics, for the classification of petroleum oils. In a survey, the proportions of people positively answering some different items can be expressed as percentages. As the total amount is identified as 100, the compositional vector of D components can be defined using only D − 1 components, assuming that the remaining component is the percentage needed for the whole vector to add to 100.