Введение

В статистике, композиционные данные – это количественные описания частей целого, передающие относительную информацию. Математически, композиционные данные представляются точками на симплексе. Измерения, включающие вероятности, доли, проценты и ppm, можно рассматривать как композиционные данные.

Трехмерный участок

Композиционные данные, представленные тремя переменными, можно отобразить на треугольных диаграммах. Использование барицентрической диаграммы для трех переменных графически показывает соотношения между этими тремя переменными в виде точек внутри равностороннего треугольника.

Упрощенное пространство выборки

В целом, Джон Эйчисон определил композиционные данные как пропорции некоторого целого в 1982 году. В частности, композиционная точка данных (или просто композиция) может быть представлена вещественным вектором с положительными компонентами. Пространство выборки композиционных данных является симплексом:

Единственная информация содержится в соотношениях между компонентами, поэтому информация о композиции сохраняется при умножении на любую положительную константу. Следовательно, пространство выборки композиционных данных всегда можно рассматривать как стандартный симплекс, то есть. В этом контексте нормализация к стандартному симплексу называется замыканием и обозначается следующим образом:

где D – число частей (компонентов), а – вектор-строка.

Нормальные основания

Поскольку симплекс Эйчисона образует конечномерное пространство Гильберта, в нем можно построить ортонормальные базисы. Любую композицию можно разложить следующим образом:

где образует ортонормальный базис в симплексе. Значения являются (ортонормальными и декартовыми) координатами относительно данного базиса. Они называются изометрическими логарифмическими координатами.

Линейные преобразования

Существует три хорошо охарактеризованных изоморфизма, преобразующих простой Эйчисона в вещественное пространство. Все эти преобразования удовлетворяют линейности, как показано ниже.

Аддитивная логарифмическая преобразовательная

Аддитивный логарифмический коэффициент (ALR) — это изоморфизм, определяемый как [формула]. Выбор компонента в знаменателе произволен и может быть любым заданным компонентом. Это преобразование часто используется в химии, например, при измерениях pH. Кроме того, ALR-преобразование наиболее часто применяется в многочленной логистической регрессии. ALR-преобразование не является изометрией, то есть расстояния между преобразованными значениями не будут соответствовать расстояниям между исходными композициями в симплексе.

Примеры

В химии составы могут быть выражены как молярные концентрации каждого компонента. Поскольку сумма всех концентраций не фиксирована, необходим полный состав из D частей, который, таким образом, представляется в виде вектора из D молярных концентраций. Эти составы можно преобразовать в весовые проценты, умножив каждый компонент на соответствующую константу. В демографии город может быть представлен как композиционная точка данных в выборке городов; город, в котором 35% населения – христиане, 55% – мусульмане, 6% – евреи, а остальные 4% – другие, будет соответствовать четверке [0.35, 0.55, 0.06, 0.04]. Набор данных будет соответствовать списку городов. В геологии порода, состоящая из различных минералов, может быть композиционной точкой данных в выборке пород; порода, в которой 10% составляет первый минерал, 30% – второй, а остальные 60% – третий, будет соответствовать тройке [0.1, 0.3, 0.6]. Набор данных будет содержать одну такую тройку для каждой породы в выборке. В высокопроизводительном секвенировании полученные данные обычно преобразуются в относительные концентрации, что делает их композиционными. В теории вероятностей и статистике разбиение пространства выборки на непересекающиеся события описывается вероятностями, присвоенными этим событиям. Вектор из D вероятностей можно рассматривать как состав из D частей. Поскольку они в сумме дают единицу, одну вероятность можно исключить, и состав будет полностью определен. В хемометрике – для классификации нефтяных масел. В ходе опроса доли людей, положительно ответивших на различные вопросы, могут быть выражены в процентах. Поскольку общая сумма фиксирована как 100%, композиционный вектор из D компонентов может быть определен, используя только D–1 компонентов, при условии, что оставшийся компонент представляет собой процент, необходимый для того, чтобы весь вектор в сумме давал 100%.