Кіріспе
Математикалық көптүрліліктер теориясы
Математикада, В. В. Д. Ходж есімімен аталған Ходж теориясы – бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді қолдана отырып, тегіс көптүрлілік M-нің когомологиялық топтарын зерттеу әдісі. Басты мәселе – М-де Риманн метрикасы берілген жағдайда, әрбір когомология класының канондық өкілі болады, ол метриканың Лаплас операторы астында жоғалатын дифференциалдық форма. Мұндай формалар гармониялық деп аталады. Ходж бұл теорияны 1930-шы жылдары алгебралық геометрияны зерттеу үшін жасаған, және ол Жорж де Рамның де Рам когомологиясы жөніндегі еңбектеріне негізделген. Оның екі маңызды қолданылу аймағы бар: Риманн көптүрліліктері және Кэлер көптүрліліктері. Ходждің бастапқы мақсаты – күрделі проективті сорттарды зерттеу, бұл соңғы жағдайға кіреді. Ходж теориясы алгебралық геометрияда, әсіресе алгебралық циклдерді зерттеуде маңызды құралға айналды. Ходж теориясы нақты және күрделі сандарға тікелей байланысты болғанымен, оны сандар теориясының мәселелеріне де қолдануға болады. Арифметикалық жағдайларда, p-адық Ходж теориясының құралдары классикалық Ходж теориясының баламалы дәлелдерін немесе ұқсас нәтижелерін ұсынды.
In mathematics, Hodge theory, named after W. V. D. Hodge, is a method for studying the cohomology groups of a smooth manifold M using partial differential equations. The key observation is that, given a Riemannian metric on M, every cohomology class has a canonical representative, a differential form that vanishes under the Laplacian operator of the metric. Such forms are called harmonic. The theory was developed by Hodge in the 1930s to study algebraic geometry, and it built on the work of Georges de Rham on de Rham cohomology. It has major applications in two settings: Riemannian manifolds and Kähler manifolds. Hodge's primary motivation, the study of complex projective varieties, is encompassed by the latter case. Hodge theory has become an important tool in algebraic geometry, particularly through its connection to the study of algebraic cycles. While Hodge theory is intrinsically dependent upon the real and complex numbers, it can be applied to questions in number theory. In arithmetic situations, the tools of p adic Hodge theory have given alternative proofs of, or analogous results to, classical Hodge theory.
Тарих
Алгебралық топология саласы 1920 жылдары әлі де жаңа ғана қалыптасып келе жатқан. Ол әлі кохомология ұғымын жетілдіре қоймаған, ал дифференциалдық формалар мен топология арасындағы байланыс жеткілікті зерттелмеген. 1928 жылы Эли Картан «Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos» деген мақала жариялады, онда ол дифференциалдық формалар мен топологияны байланыстыру қажеттігін айтты, бірақ оны дәлелдемеді. Оны оқыған Жорж де Рам, сол кездегі студент, шабыттанды. 1931 жылғы диссертациясында ол қазір де Рам теоремасы деп аталатын нәтижені дәлелдеді. Стоукс теоремасы бойынша, дифференциалдық формаларды сингуляр тізбектер бойынша интегралдау кез келген тығыз тегіс көптік M үшін билинейлік жұптастыруды тудырады. Де Рам теоремасы бастапқыда бұл жұптастырудың толық екенін, демек сол жақтағы әрбір мүше бір-біріне векторлық кеңістікте дуал болатынын көрсетеді. Қазіргі заманда де Рам теоремасы көбінесе нақты коэффициенттері бар сингуляр кохомология де Рам кохомологиясына изоморфты екендігі түрінде айтылады: Де Рамның бастапқы тұжырымы, нақты айтқанда, сингуляр кохомология сингуляр гомологияның дуалы екенін көрсетеді. 1927 жылы Соломон Лефшецтің мақаласында Риман теоремаларын топологиялық әдістермен қайта дәлелдеуге қолданылды. Қазіргі тілінде, егер ω1 және ω2 алгебралық қисық C-дегі голоморфты дифференциалдар болса, онда олардың сыртқы көбейтіндісі міндетті түрде нөлге тең, себебі C-де тек бір комплекс өлшем бар; соның салдарынан, олардың кохомология кластарының тостаған көбейтіндісі нөлге тең, ал нақтыланғанда бұл Лефшецке Риман қатынастарын жаңадан дәлелдеуге мүмкіндік берді. Сонымен қатар, егер ω нөлдік емес голоморфты дифференциал болса, онда ол оң көлем формасы болады, одан Лефшец Риман теңсіздіктерін қайта шығара алды. 1929 жылы В.В.Д. Ходж Лефшецтің мақаласымен танысты. Ол бірден осыған ұқсас принциптердің алгебралық беттерге де қолданылатынын байқады. Нақтырақ айтқанда, егер ω алгебралық бетіндегі нөлдік емес голоморфты форма болса, онда ол оң, сондықтан оның және оның дуалының тостаған көбейтіндісі нөлдік емес болуы керек. Одан ω-ның өзі нөлдік емес кохомология класын білдіреді, демек оның кезеңдерінің барлығы нөлге тең бола алмайды. Бұл Северидің сұрағын шешті. Ходж бұл әдістерді жоғары өлшемді сорттарға да қолдануға болатынын ойлады. Оның әріптесі Питер Фрейзер оған де Рамның диссертациясын ұсынды. Де Рамның диссертациясын оқығанда Ходж Риман бетіндегі голоморфты 1-форманың нақты және жорамал бөліктері бір-біріне белгілі бір мағынада дуалды екенін түсінді. Ол жоғары өлшемдерде де ұқсас дуалдық болуы керек деп күдіктенді; бұл дуалдық қазір Ходж жұлдызы операторы деп аталады. Ол сондай-ақ әр кохомология класының сыртқы туынды операторының астында оның және оның дуалының жоғалып кетуі керек қасиетімен ерекшеленетін өкілі болуы керек деп болжады; бұлар қазір гармоникалық формалар деп аталады. Ходж 1930 жылдардың көп бөлігін осы мәселеге арнады. Оның дәлелдеудегі алғашқы жарияланғаны 1933 жылы жарық көрді, бірақ ол оны «өте жаман» деп санады. Ол кездегі ең данышман математиктердің бірі Герман Вейл Ходждің дәлелінің дұрыс па, жоқ па екенін анықтай алмады. 1936 жылы Ходж жаңа дәлел жариялады. Ходж жаңа дәлелді әлдеқайда жақсы деп санаса да, Боненблуст ода күрделі кемшілік тапты. Герман Вейл мен Кунихико Кодайра дербес түрде Ходждің дәлелін түзету үшін өзгертті. Бұл Ходж іздеген гармоникалық формалар мен кохомология кластары арасындағы изоморфизмді орнатты. Артқа қарап қарағанда, теоремадағы техникалық қиындықтарға ешқандай маңызды жаңа идеялар қажет болмағаны, тек классикалық әдістерді мұқият кеңейту ғана қажет болғаны анық көрінеді. Ходждың басты үлесі болған шынайы жаңалық – гармоникалық интегралдар тұжырымы және олардың алгебралық геометриямен байланысы. Бұл концепцияның техникадан басымдығы Ходждің ұлы алдыңғысы Бернхард Риманның жұмысындағы ұқсас эпизодты еске салады. — М. Ф. Атия, William Vallance Douglas Hodge, 17 маусым 1903 – 7 шілде 1975, Корольдік қоғамның мүшелерінің өмірбаяндық естеліктері, 22 том, 1976 жыл, 169–192 беттер.
As originally stated, de Rham's theorem asserts that this is a perfect pairing, and that therefore each of the terms on the left hand side are vector space duals of one another. In contemporary language, de Rham's theorem is more often phrased as the statement that singular cohomology with real coefficients is isomorphic to de Rham cohomology:
De Rham's original statement is then a consequence of the fact that over the reals, singular cohomology is the dual of singular homology. Separately, a 1927 paper of Solomon Lefschetz used topological methods to reprove theorems of Riemann. In modern language, if ω1 and ω2 are holomorphic differentials on an algebraic curve C, then their wedge product is necessarily zero because C has only one complex dimension; consequently, the cup product of their cohomology classes is zero, and when made explicit, this gave Lefschetz a new proof of the Riemann relations. Additionally, if ω is a non zero holomorphic differential, then is a positive volume form, from which Lefschetz was able to rederive Riemann's inequalities. In 1929, W. V. D. Hodge learned of Lefschetz's paper. He immediately observed that similar principles applied to algebraic surfaces. More precisely, if ω is a non zero holomorphic form on an algebraic surface, then is positive, so the cup product of and must be non zero. It follows that ω itself must represent a non zero cohomology class, so its periods cannot all be zero. This resolved a question of Severi. Hodge felt that these techniques should be applicable to higher dimensional varieties as well. His colleague Peter Fraser recommended de Rham's thesis to him. In reading de Rham's thesis, Hodge realized that the real and imaginary parts of a holomorphic 1 form on a Riemann surface were in some sense dual to each other. He suspected that there should be a similar duality in higher dimensions; this duality is now known as the Hodge star operator. He further conjectured that each cohomology class should have a distinguished representative with the property that both it and its dual vanish under the exterior derivative operator; these are now called harmonic forms. Hodge devoted most of the 1930s to this problem. His earliest published attempt at a proof appeared in 1933, but he considered it "crude in the extreme". Hermann Weyl, one of the most brilliant mathematicians of the era, found himself unable to determine whether Hodge's proof was correct or not. In 1936, Hodge published a new proof. While Hodge considered the new proof much superior, a serious flaw was discovered by Bohnenblust. Independently, Hermann Weyl and Kunihiko Kodaira modified Hodge's proof to repair the error. This established Hodge's sought for isomorphism between harmonic forms and cohomology classes. In retrospect it is clear that the technical difficulties in the existence theorem did not really require any significant new ideas, but merely a careful extension of classical methods. The real novelty, which was Hodge’s major contribution, was in the conception of harmonic integrals and their relevance to algebraic geometry. This triumph of concept over technique is reminiscent of a similar episode in the work of Hodge’s great predecessor Bernhard Riemann. —M. F. Atiyah, William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, vol. 22, 1976, pp. 169–192.
Де Рам кохомологиясы
Ходж теориясы де Рам кешеніне сілтеме жасайды. M тегіс көптік болсын. k теріс емес бүтін сан үшін, Ωk(M) – M-дегі k дәрежелі тегіс дифференциалдық формалардың нақты векторлық кеңістігі. Де Рам кешені – мына дифференциалдық операторлар тізбегі:
мұнда dk – Ωk(M) кеңістігіндегі сыртқы туындыны білдіреді. Бұл коцейндік кешен, яғни (немесе осылай да жазылады). Де Рам теоремасы бойынша, M-нің нақты коэффициенттері бар жеке кохомологиясы де Рам кешені арқылы есептеледі:
Алгебралық циклдер және Ходж болжамы
Бұл тегіс күрделі проективті алуан түрлілік болсын. Кодименсиясы бар күрделі субвариант кохомология тобының бір элементін анықтайды. Сонымен қатар, алынған классқа тән ерекше қасиет бар: оның күрделі кохомологиядағы бейнесі Ходж жіктелуінің ортаңғы бөлігінде орналасқан. Ходж болжамы кері шартты болжайды: күрделі кохомологиядағы бейнесі белгілі бір субкеңістікте жатқан әрбір элементтің оң бүтін санға көбейтілгені болуы керек, ол (алуан түрліліктің) күрделі субварианттарының класс есебінен алынған сызықтық комбинация (мұндай сызықтық комбинация алгебралық цикл деп аталады). Маңызды жайт – Ходж жіктелуі – бұл интегралды (немесе рационалды) коэффициенттері бар кохомологияның жіктелуінен туындамайтын, күрделі коэффициенттері бар кохомологияның жіктелуі. Осының салдарынан, қиылысу толық топтан әлдеқайда кіші болуы мүмкін, тіпті Ходж саны үлкен болса да. Қысқасы, Ходж болжамы (кохомология арқылы сипатталатын) күрделі субварианттардың мүмкін болатын «пішіндері» алуан түрліліктің Ходж құрылымымен анықталады (интегралды кохомологияның күрделі кохомологияның Ходж жіктелуімен үйлесімі). Лефшецтің (1,1) теоремасы Ходж болжамының (оның ішінде интегралды түрде, яғни, тұжырымдамада оң бүтін санға көбейту қажеттігі жоқ) үшін дұрыс екенін көрсетеді. Алуан түрліліктің Ходж құрылымы алгебралық дифференциалдық формалардың интегралдарын сипаттайды. Осы тұрғыдан алғанда, Ходж теориясы математикалық есептеудегі негізгі мәселеге байланысты: алгебралық функцияның интегралы үшін жалпы «формула» жоқ. Атап айтқанда, алгебралық функциялардың белгілі интегралдары, периодтар деп аталатындар, трансцендентті сандар болуы мүмкін. Ходж болжамының қиындығы осындай интегралдарды толыққанды түсінудің жоқтығынан туындайды. Мысал: Тегіс күрделі проективті K3 беті үшін кохомология тобы , ал екіншісіне изоморфты. Олардың қиылысуы 1 мен 20 аралығында кез келген рангқа ие болуы мүмкін; бұл ранг Пикард саны деп аталады. Барлық проективті K3 беттерінің модульдік кеңістігі саналатын шексіз компоненттер жиынтығына ие, олардың әрқайсысы күрделі өлшем 19-ға ие. Пикард саны бар K3 беттерінің субкеңістігінің өлшемі (сондықтан, көптеген проективті K3 беттері үшін, кохомология тобының қиылысуы , бірақ «ерекше» K3 беттері үшін қиылысу үлкенірек болуы мүмкін). Бұл мысал күрделі алгебралық геометрияда Ходж теориясының атқаратын әртүрлі рөлдерін көрсетеді. Біріншіден, Ходж теориясы топологиялық кеңістіктердің тегіс күрделі проективті алуан түрліліктің құрылымын қалай қабылдай алатынына қатысты шектеулер қояды. Екіншіден, Ходж теориясы белгілі бір топологиялық типтегі тегіс күрделі проективті алуан түрліліктердің модульдік кеңістігі туралы ақпарат береді. Ең жақсы жағдай – Торелли теоремасы орындалғанда, яғни алуан түрлілік оның Ходж құрылымымен изоморфизмге дейін анықталады. Соңында, Ходж теориясы берілген алуан түрліліктегі алгебралық циклдердің Чоу тобы туралы ақпарат береді. Ходж болжамы Чоу тобынан қарапайым кохомологияға дейінгі циклдік бейнелеудің бейнесі туралы, бірақ Ходж теориясы циклдік бейнелеудің ядросы туралы да ақпарат береді, мысалы, Ходж құрылымынан құрылған аралық Якобиандарды пайдалану арқылы.
may be much smaller than the whole group , even if the Hodge number is big. In short, the Hodge conjecture predicts that the possible "shapes" of complex subvarieties of (as described by cohomology) are determined by the Hodge structure of (the combination of integral cohomology with the Hodge decomposition of complex cohomology). The Lefschetz (1,1) theorem says that the Hodge conjecture is true for (even integrally, that is, without the need for a positive integral multiple in the statement). The Hodge structure of a variety describes the integrals of algebraic differential forms on over homology classes in In this sense, Hodge theory is related to a basic issue in calculus: there is in general no "formula" for the integral of an algebraic function. In particular, definite integrals of algebraic functions, known as periods, can be transcendental numbers. The difficulty of the Hodge conjecture reflects the lack of understanding of such integrals in general. Example: For a smooth complex projective K3 surface , the group is isomorphic to , and is isomorphic to Their intersection can have rank anywhere between 1 and 20; this rank is called the Picard number of The moduli space of all projective K3 surfaces has a countably infinite set of components, each of complex dimension 19. The subspace of K3 surfaces with Picard number has dimension (Thus, for most projective K3 surfaces, the intersection of with is isomorphic to , but for "special" K3 surfaces the intersection can be bigger.) This example suggests several different roles played by Hodge theory in complex algebraic geometry. First, Hodge theory gives restrictions on which topological spaces can have the structure of a smooth complex projective variety. Second, Hodge theory gives information about the moduli space of smooth complex projective varieties with a given topological type. The best case is when the Torelli theorem holds, meaning that the variety is determined up to isomorphism by its Hodge structure. Finally, Hodge theory gives information about the Chow group of algebraic cycles on a given variety. The Hodge conjecture is about the image of the cycle map from Chow groups to ordinary cohomology, but Hodge theory also gives information about the kernel of the cycle map, for example using the intermediate Jacobians which are built from the Hodge structure.
Жалпылау
Пиер Делинь әзірлеген аралас Ходж теориясы Ходж теориясын барлық күрделі алгебралық сорттарға, міндетті түрде тегіс немесе тығыз емес, кеңейтеді. Атап айтқанда, кез келген күрделі алгебралық сорттың когомологиясы көбірек жалпылама түрде ыдырайды, яғни аралас Ходж құрылымына ие болады. Ходж теориясының сингулярлық сорттарға басқаша жалпылануын қиылысу гомологиясы қамтамасыз етеді. Атап айтқанда, Морихико Сайто кез келген күрделі проекциялық сорттың (қажетті түрде тегіс емес) қиылысу гомологиясының, тегіс жағдайдағыдай, таза Ходж құрылымы бар екенін көрсетті. Шындығында, Кэлер жиынтығы толығымен қиылысу гомологиясына дейін кеңейеді. Күрделі геометрияның маңызды ерекшелігі – изоморфты емес күрделі көптүрліліктердің үздіксіз отбасыларының болуы (барлығы да нақты көптүрлілік ретінде диффеоморфты). Филипп Гриффитстің Ходж құрылымының өзгеруі туралы ұғымы, тегіс күрделі проекциялық сорттың Ходж құрылымы өзгергенде қалай өзгеретінін сипаттайды. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл сорттар отбасына байланысты кезеңдік бейнелеуді зерттеумен тең. Сайтоның Ходж модульдері теориясы – бұл жалпылау. Шамамен айтқанда, аралас Ходж модулі – бұл сорт үстіндегі аралас Ходж құрылымдарының қаптамасы, ол тегіс немесе тығыз болуы міндетті емес.