Введение
Теория математических многообразий
В математике теория Ходжа, названная в честь В. В. Д. Ходжа, является методом изучения групп когомологий гладкого многообразия M с использованием частных дифференциальных уравнений. Ключевым наблюдением является то, что при заданной римановой метрике на M каждый класс когомологий имеет канонический представитель – дифференциальную форму, которая обращается в ноль под действием оператора Лапласа этой метрики. Такие формы называются гармоническими. Теория была разработана Ходжем в 1930-х годах для изучения алгебраической геометрии и основывалась на работах Жоржа де Рама по когомологиям де Рама. Она имеет важные применения в двух областях: римановы многообразия и кэлеровы многообразия. Основная мотивация Ходжа – изучение комплексных проективных многообразий – охватывается в последнем случае. Теория Ходжа стала важным инструментом в алгебраической геометрии, особенно благодаря связи с изучением алгебраических циклов. Хотя теория Ходжа по своей сути зависит от действительных и комплексных чисел, она может применяться к вопросам теории чисел. В арифметических ситуациях инструменты p-адической теории Ходжа предоставляют альтернативные доказательства или аналогичные результаты классической теории Ходжа.
In mathematics, Hodge theory, named after W. V. D. Hodge, is a method for studying the cohomology groups of a smooth manifold M using partial differential equations. The key observation is that, given a Riemannian metric on M, every cohomology class has a canonical representative, a differential form that vanishes under the Laplacian operator of the metric. Such forms are called harmonic. The theory was developed by Hodge in the 1930s to study algebraic geometry, and it built on the work of Georges de Rham on de Rham cohomology. It has major applications in two settings: Riemannian manifolds and Kähler manifolds. Hodge's primary motivation, the study of complex projective varieties, is encompassed by the latter case. Hodge theory has become an important tool in algebraic geometry, particularly through its connection to the study of algebraic cycles. While Hodge theory is intrinsically dependent upon the real and complex numbers, it can be applied to questions in number theory. In arithmetic situations, the tools of p adic Hodge theory have given alternative proofs of, or analogous results to, classical Hodge theory.
История
В 1920-х годах область алгебраической топологии была еще в зачаточном состоянии. В ней еще не было разработано понятие кохомологии, и взаимодействие между дифференциальными формами и топологией было недостаточно изучено. В 1928 году Эли Картан опубликовал заметку Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos, в которой он предположил — но не доказал — что дифференциальные формы и топология должны быть связаны. Прочитав ее, Жорж де Рам, тогда студент, был вдохновлен. В своей диссертации 1931 года он доказал результат, ныне известный как теорема де Рама. По теореме Стокса, интегрирование дифференциальных форм вдоль сингулярных цепей индуцирует, для любого компактного гладкого многообразия M, билинейное сопоставление. В первоначальной формулировке теорема де Рама утверждает, что это совершенное сопоставление, и, следовательно, каждый член в левой части является двойственным к другому члену как векторное пространство. В современной терминологии теорема де Рама чаще формулируется как утверждение о том, что сингулярная кохомология с вещественными коэффициентами изоморфна кохомологии де Рама:
As originally stated, de Rham's theorem asserts that this is a perfect pairing, and that therefore each of the terms on the left hand side are vector space duals of one another. In contemporary language, de Rham's theorem is more often phrased as the statement that singular cohomology with real coefficients is isomorphic to de Rham cohomology:
De Rham's original statement is then a consequence of the fact that over the reals, singular cohomology is the dual of singular homology. Separately, a 1927 paper of Solomon Lefschetz used topological methods to reprove theorems of Riemann. In modern language, if ω1 and ω2 are holomorphic differentials on an algebraic curve C, then their wedge product is necessarily zero because C has only one complex dimension; consequently, the cup product of their cohomology classes is zero, and when made explicit, this gave Lefschetz a new proof of the Riemann relations. Additionally, if ω is a non zero holomorphic differential, then is a positive volume form, from which Lefschetz was able to rederive Riemann's inequalities. In 1929, W. V. D. Hodge learned of Lefschetz's paper. He immediately observed that similar principles applied to algebraic surfaces. More precisely, if ω is a non zero holomorphic form on an algebraic surface, then is positive, so the cup product of and must be non zero. It follows that ω itself must represent a non zero cohomology class, so its periods cannot all be zero. This resolved a question of Severi. Hodge felt that these techniques should be applicable to higher dimensional varieties as well. His colleague Peter Fraser recommended de Rham's thesis to him. In reading de Rham's thesis, Hodge realized that the real and imaginary parts of a holomorphic 1 form on a Riemann surface were in some sense dual to each other. He suspected that there should be a similar duality in higher dimensions; this duality is now known as the Hodge star operator. He further conjectured that each cohomology class should have a distinguished representative with the property that both it and its dual vanish under the exterior derivative operator; these are now called harmonic forms. Hodge devoted most of the 1930s to this problem. His earliest published attempt at a proof appeared in 1933, but he considered it "crude in the extreme". Hermann Weyl, one of the most brilliant mathematicians of the era, found himself unable to determine whether Hodge's proof was correct or not. In 1936, Hodge published a new proof. While Hodge considered the new proof much superior, a serious flaw was discovered by Bohnenblust. Independently, Hermann Weyl and Kunihiko Kodaira modified Hodge's proof to repair the error. This established Hodge's sought for isomorphism between harmonic forms and cohomology classes. In retrospect it is clear that the technical difficulties in the existence theorem did not really require any significant new ideas, but merely a careful extension of classical methods. The real novelty, which was Hodge’s major contribution, was in the conception of harmonic integrals and their relevance to algebraic geometry. This triumph of concept over technique is reminiscent of a similar episode in the work of Hodge’s great predecessor Bernhard Riemann. —M. F. Atiyah, William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, vol. 22, 1976, pp. 169–192.
Первоначальная формулировка де Рама является следствием того факта, что над вещественными числами сингулярная кохомология двойственна сингулярной гомологии. Отдельно, в статье Соломона Лефшеца 1927 года использовались топологические методы для повторного доказательства теорем Римана. В современной терминологии, если ω1 и ω2 — голоморфные дифференциалы на алгебраической кривой C, то их внешнее произведение обязательно равно нулю, поскольку C имеет только одно комплексное измерение; следовательно, произведение по чашке их классов кохомологии равно нулю, и, будучи явно выраженным, это дало Лефшецу новое доказательство соотношений Римана. Кроме того, если ω — ненулевой голоморфный дифференциал, то является положительной формой объема, из которой Лефшец смог восстановить неравенства Римана. В 1929 году В. В. Д. Ходж узнал о работе Лефшеца. Он сразу заметил, что аналогичные принципы применимы к алгебраическим поверхностям. Более точно, если ω — ненулевая голоморфная форма на алгебраической поверхности, то положительна, поэтому произведение по чашке и должно быть ненулевым. Следовательно, ω сам по себе должен представлять ненулевой класс кохомологии, и его периоды не могут быть все равны нулю. Это разрешило вопрос, поставленный Севери. Ходж полагал, что эти методы должны быть применимы и к многомерным многообразиям. Его коллега Питер Фрейзер рекомендовал ему диссертацию де Рама. Читая диссертацию де Рама, Ходж понял, что вещественная и мнимая части голоморфной 1-формы на римановой поверхности в некотором смысле двойственны друг другу. Он подозревал, что в более высоких измерениях должна существовать аналогичная двойственность; эта двойственность теперь известна как оператор звезды Ходжа. Он также предположил, что каждый класс кохомологии должен иметь выделенного представителя, обладающего свойством, что он и его двойственный аннулируются оператором внешнего дифференцирования; эти формы теперь называются гармоническими. Ходж посвятил большую часть 1930-х годов этой проблеме. Его первая опубликованная попытка доказательства появилась в 1933 году, но он считал ее «крайне примитивной». Герман Вейль, один из самых выдающихся математиков той эпохи, не смог определить, верно ли доказательство Ходжа или нет. В 1936 году Ходж опубликовал новое доказательство. Хотя Ходж считал новое доказательство значительно превосходящим, Боненблуст обнаружил в нем серьезный недостаток. Независимо от этого, Герман Вейль и Кунихико Кодайра модифицировали доказательство Ходжа, чтобы исправить ошибку. Это установило искомый Ходжем изоморфизм между гармоническими формами и классами кохомологии. Оглядываясь назад, становится ясно, что технические трудности в теореме о существовании не требовали каких-либо принципиально новых идей, а лишь тщательного обобщения классических методов. Настоящая новизна, которая была главным вкладом Ходжа, заключалась в концепции гармонических интегралов и их связи с алгебраической геометрией. Этот триумф концепции над техникой напоминает аналогичный эпизод в работе великого предшественника Ходжа, Бернарда Римана. — М. Ф. Атия, William Vallance Douglas Hodge, 17 июня 1903 – 7 июля 1975, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, vol. 22, 1976, pp. 169–192.
As originally stated, de Rham's theorem asserts that this is a perfect pairing, and that therefore each of the terms on the left hand side are vector space duals of one another. In contemporary language, de Rham's theorem is more often phrased as the statement that singular cohomology with real coefficients is isomorphic to de Rham cohomology:
De Rham's original statement is then a consequence of the fact that over the reals, singular cohomology is the dual of singular homology. Separately, a 1927 paper of Solomon Lefschetz used topological methods to reprove theorems of Riemann. In modern language, if ω1 and ω2 are holomorphic differentials on an algebraic curve C, then their wedge product is necessarily zero because C has only one complex dimension; consequently, the cup product of their cohomology classes is zero, and when made explicit, this gave Lefschetz a new proof of the Riemann relations. Additionally, if ω is a non zero holomorphic differential, then is a positive volume form, from which Lefschetz was able to rederive Riemann's inequalities. In 1929, W. V. D. Hodge learned of Lefschetz's paper. He immediately observed that similar principles applied to algebraic surfaces. More precisely, if ω is a non zero holomorphic form on an algebraic surface, then is positive, so the cup product of and must be non zero. It follows that ω itself must represent a non zero cohomology class, so its periods cannot all be zero. This resolved a question of Severi. Hodge felt that these techniques should be applicable to higher dimensional varieties as well. His colleague Peter Fraser recommended de Rham's thesis to him. In reading de Rham's thesis, Hodge realized that the real and imaginary parts of a holomorphic 1 form on a Riemann surface were in some sense dual to each other. He suspected that there should be a similar duality in higher dimensions; this duality is now known as the Hodge star operator. He further conjectured that each cohomology class should have a distinguished representative with the property that both it and its dual vanish under the exterior derivative operator; these are now called harmonic forms. Hodge devoted most of the 1930s to this problem. His earliest published attempt at a proof appeared in 1933, but he considered it "crude in the extreme". Hermann Weyl, one of the most brilliant mathematicians of the era, found himself unable to determine whether Hodge's proof was correct or not. In 1936, Hodge published a new proof. While Hodge considered the new proof much superior, a serious flaw was discovered by Bohnenblust. Independently, Hermann Weyl and Kunihiko Kodaira modified Hodge's proof to repair the error. This established Hodge's sought for isomorphism between harmonic forms and cohomology classes. In retrospect it is clear that the technical difficulties in the existence theorem did not really require any significant new ideas, but merely a careful extension of classical methods. The real novelty, which was Hodge’s major contribution, was in the conception of harmonic integrals and their relevance to algebraic geometry. This triumph of concept over technique is reminiscent of a similar episode in the work of Hodge’s great predecessor Bernhard Riemann. —M. F. Atiyah, William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, vol. 22, 1976, pp. 169–192.
Кохомология Де Рама
Теория Ходжа опирается на комплекс де Рама. Пусть M – гладкое многообразие. Для неотрицательного целого числа k обозначим Ωk(M) как действительное векторное пространство гладких дифференциальных форм степени k на M. Комплекс де Рама – это последовательность дифференциальных операторов
где dk обозначает внешнее дифференцирование на Ωk(M). Это коцеплекс в том смысле, что (также обозначается ). Теорема де Рама утверждает, что сингулярная когомология M с вещественными коэффициентами вычисляется комплексом де Рама:
Алгебраические циклы и гипотеза Ходжа
Пусть будет гладким сложным проективным многообразием. Комплексное подмногообразие в кодимензии определяет элемент группы когомологий. Более того, полученный класс обладает особым свойством: его образ в комплексной когомологии лежит в средней части разложения Ходжа. Гипотеза Ходжа предсказывает обратное: каждый элемент, образ которого в комплексной когомологии лежит в подпространстве, должен иметь положительный целочисленный кратный, являющийся линейной комбинацией классов комплексных подмногообразий (такая линейная комбинация называется алгебраическим циклом). Ключевым моментом является то, что разложение Ходжа — это разложение когомологии с комплексными коэффициентами, которое обычно не происходит от разложения когомологии с целочисленными (или рациональными) коэффициентами. В результате, пересечение может быть значительно меньше, чем вся группа , даже если число Ходжа велико. Коротко говоря, гипотеза Ходжа предсказывает, что возможные "формы" комплексных подмногообразий (как это описывается когомологией) определяются структурой Ходжа (комбинацией целочисленной когомологии с разложением Ходжа комплексной когомологии). Теорема Лефшеца (1,1) утверждает, что гипотеза Ходжа верна для (даже целочисленно, то есть без необходимости в положительном целочисленном кратном в формулировке). Структура Ходжа многообразия описывает интегралы алгебраических дифференциальных форм на классах гомологии в . В этом смысле теория Ходжа связана с фундаментальным вопросом в математическом анализе: в общем случае не существует "формулы" для интеграла алгебраической функции. В частности, определенные интегралы алгебраических функций, известные как периоды, могут быть трансцендентными числами. Сложность гипотезы Ходжа отражает недостаток понимания таких интегралов в общем случае. Пример: Для гладкой сложной проективной поверхности K3 группа изоморфна , а изоморфна . Их пересечение может иметь ранг от 1 до 20; этот ранг называется числом Пикара. Модульное пространство всех проективных поверхностей K3 имеет счетное бесконечное множество компонент, каждая из которых имеет комплексную размерность 19. Подпространство поверхностей K3 с числом Пикара имеет размерность (Таким образом, для большинства проективных поверхностей K3 пересечение с изоморфно , но для "специальных" поверхностей K3 пересечение может быть больше). Этот пример указывает на различные роли, которые играет теория Ходжа в комплексной алгебраической геометрии. Во-первых, теория Ходжа накладывает ограничения на топологические пространства, которые могут иметь структуру гладкого сложного проективного многообразия. Во-вторых, теория Ходжа предоставляет информацию о модульном пространстве гладких сложных проективных многообразий с заданным топологическим типом. Наилучший случай — когда теорема Торелли имеет место, то есть многообразие определяется с точностью до изоморфизма своей структурой Ходжа. Наконец, теория Ходжа предоставляет информацию о группе Чоу алгебраических циклов на заданном многообразии. Гипотеза Ходжа касается образа карты циклов из групп Чоу в обычную когомологию, но теория Ходжа также предоставляет информацию о ядре карты циклов, например, с использованием промежуточных якобианов, построенных на основе структуры Ходжа.
may be much smaller than the whole group , even if the Hodge number is big. In short, the Hodge conjecture predicts that the possible "shapes" of complex subvarieties of (as described by cohomology) are determined by the Hodge structure of (the combination of integral cohomology with the Hodge decomposition of complex cohomology). The Lefschetz (1,1) theorem says that the Hodge conjecture is true for (even integrally, that is, without the need for a positive integral multiple in the statement). The Hodge structure of a variety describes the integrals of algebraic differential forms on over homology classes in In this sense, Hodge theory is related to a basic issue in calculus: there is in general no "formula" for the integral of an algebraic function. In particular, definite integrals of algebraic functions, known as periods, can be transcendental numbers. The difficulty of the Hodge conjecture reflects the lack of understanding of such integrals in general. Example: For a smooth complex projective K3 surface , the group is isomorphic to , and is isomorphic to Their intersection can have rank anywhere between 1 and 20; this rank is called the Picard number of The moduli space of all projective K3 surfaces has a countably infinite set of components, each of complex dimension 19. The subspace of K3 surfaces with Picard number has dimension (Thus, for most projective K3 surfaces, the intersection of with is isomorphic to , but for "special" K3 surfaces the intersection can be bigger.) This example suggests several different roles played by Hodge theory in complex algebraic geometry. First, Hodge theory gives restrictions on which topological spaces can have the structure of a smooth complex projective variety. Second, Hodge theory gives information about the moduli space of smooth complex projective varieties with a given topological type. The best case is when the Torelli theorem holds, meaning that the variety is determined up to isomorphism by its Hodge structure. Finally, Hodge theory gives information about the Chow group of algebraic cycles on a given variety. The Hodge conjecture is about the image of the cycle map from Chow groups to ordinary cohomology, but Hodge theory also gives information about the kernel of the cycle map, for example using the intermediate Jacobians which are built from the Hodge structure.
Обобщения
Смешанная теория Ходжа, разработанная Пьером Делинем, распространяет теорию Ходжа на все комплексные алгебраические многообразия, не обязательно гладкие или компактные. А именно, когомология любого комплексного алгебраического многообразия имеет более общий тип разложения – смешанную структуру Ходжа. Другое обобщение теории Ходжа на сингулярные многообразия предоставляется гомологией пересечений. Именно Морихико Сайто показал, что гомология пересечений любого комплексного проективного многообразия (не обязательно гладкого) имеет чистую структуру Ходжа, как и в гладком случае. Фактически, весь комплекс Калера распространяется на гомологию пересечений. Фундаментальным аспектом комплексной геометрии является существование непрерывных семейств неизоморфных комплексных многообразий (которые все диффеоморфны как вещественные многообразия). Понятие вариации структуры Ходжа, введенное Филиппом Гриффитсом, описывает, как структура Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия изменяется при изменении параметров. В геометрических терминах это сводится к изучению отображения периодов, связанного с семейством многообразий. Теория модулей Ходжа, разработанная Сайто, является обобщением этого подхода. Грубо говоря, смешанный модуль Ходжа на многообразии – это пучок смешанных структур Ходжа над , который возникает, например, из семейства многообразий, не обязательно гладких или компактных.