Введение
Фрактальное измерение
В математике мера Хаусдорфа является обобщением традиционных понятий площади и объема на нецелые размерности, в частности, для фракталов и их размерностей Хаусдорфа. Это тип внешней меры, названной в честь Феликса Хаусдорфа, которая присваивает число в интервале [0, ∞] каждому множеству в или, в более общем случае, в любом метрическом пространстве. Нуль-мерная мера Хаусдорфа равна числу точек в множестве (если множество конечно) или ∞, если множество бесконечно. Аналогично, одномерная мера Хаусдорфа простой кривой в равна длине этой кривой, а двумерная мера Хаусдорфа измеримого по Лебегу подмножества пропорциональна площади множества. Таким образом, понятие меры Хаусдорфа обобщает меру Лебега и связанные с ней понятия подсчета, длины и площади, а также обобщает понятие объема. Фактически, существуют d-мерные меры Хаусдорфа для любого d ≥ 0, где d не обязательно является целым числом. Эти меры являются фундаментальными в геометрической теории меры и естественным образом возникают в гармоническом анализе и теории потенциала.
In mathematics, Hausdorff measure is a generalization of the traditional notions of area and volume to non integer dimensions, specifically fractals and their Hausdorff dimensions. It is a type of outer measure, named for Felix Hausdorff, that assigns a number in [0,∞] to each set in or, more generally, in any metric space. The zero dimensional Hausdorff measure is the number of points in the set (if the set is finite) or ∞ if the set is infinite. Likewise, the one dimensional Hausdorff measure of a simple curve in is equal to the length of the curve, and the two dimensional Hausdorff measure of a Lebesgue measurable subset of is proportional to the area of the set. Thus, the concept of the Hausdorff measure generalizes the Lebesgue measure and its notions of counting, length, and area. It also generalizes volume. In fact, there are d dimensional Hausdorff measures for any d ≥ 0, which is not necessarily an integer. These measures are fundamental in geometric measure theory. They appear naturally in harmonic analysis or potential theory.
Определение
Пусть задано метрическое пространство. Для любого подмножества обозначим его диаметр, то есть
Пусть – любое подмножество и – действительное число. Определим
где инфимум берется по всем счетным покрытиям множества множествами , удовлетворяющими условию
Note that is monotone nonincreasing in since the larger is, the more collections of sets are permitted, making the infimum not larger. Thus, exists but may be infinite. Let
Заметим, что невозрастающая функция, поскольку чем больше , тем больше допустимых коллекций множеств, что делает инфимум не больше. Следовательно, существует, но может быть бесконечным. Можно видеть, что это внешняя мера (точнее, это метрическая внешняя мера). По теореме о расширении Каратеодори, ее ограничение на σ-алгебру измеримых по Каратеодори множеств является мерой. Она называется мерой Хаусдорфа размерности . Благодаря свойству метрической внешней меры, все подмножества Бореля измеримы. В приведенном выше определении множества в покрытии произвольны. Однако можно потребовать, чтобы покрывающие множества были открытыми или замкнутыми, или даже выпуклыми в нормированных пространствах, что даст те же значения, а следовательно, ту же меру. При ограничении покрывающих множеств шарами меры могут измениться, но размерность измеряемых множеств останется прежней.