Ерекше шешімдер және дифференциал теңдеулердегі ерекшелік жағдайлар
Singular solution
Жай дифференциал теңдеулердегі ерекше шешімдер: бірегей шешімі жоқ нүктелер, сингулярлық функциялар, бастапқы шарттар мәселесі. Математикалық анықтамалар.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Қарапайым дифференциалдық теңдеудің ерекше шешімі ys(x) – бұл ерекше шешім немесе бастапқы шарттар мәселесінің (кейбір авторлар оны Коши мәселесі деп те атайды) шешімнің белгілі бір нүктесінде бірегей шешімге ие болмайтын жағдай. Шешімнің ерекше болатын жиын бір ғана нүктедей кішкентай немесе толық нақты сан түзуі сияқты үлкен болуы мүмкін. Бастапқы шарттар мәселесінің бірегей шешімі болмайтын мағынада ерекше шешімдер, міндетті түрде ерекше функциялар болуы керек емес. Кейбір жағдайларда, "ерекше шешім" термині қисықтың кез келген нүктесінде бастапқы шарттар мәселесінің бірегейлігіне қол жеткізе алмауды білдіреді. Осы күшті мағынадағы ерекше шешім, шешімдер отбасының әрбір шешіміне жанама болып табылады. "Жанама" деп біз x нүктесінде ys(x) = yc(x) және y's(x) = y'c(x) болатынын айтамыз, мұнда yc – c параметрімен берілген шешімдер отбасының шешімі. Бұл ерекше шешім – шешімдер отбасының қабықшасы дегенді білдіреді. Әдетте, ерекше шешімдер дифференциалдық теңдеулерде нөлге тең болуы мүмкін шартқа бөлу қажеттілігі туғанда пайда болады. Сондықтан, дифференциалдық теңдеуді шешетінде және бөлуді қолданғанда, егер шарт нөлге тең болса, не болатынын және ол ерекше шешімге әкелсе, тексеру қажет. Бірегей шешімдердің болуы үшін жеткілікті шарттарды беретін Пикард-Линделоф теоремасын ерекше шешімдердің болуын жоққа шығару үшін пайдалануға болады. Басқа теоремалар, мысалы, Пеаноның барлық шешімдер теоремасы, шешімдердің бірегей болмаса да, олардың болуы үшін жеткілікті шарттарды береді, бұл ерекше шешімдердің болуына мүмкіндік береді.
A singular solution ys(x) of an ordinary differential equation is a solution that is singular or one for which the initial value problem (also called the Cauchy problem by some authors) fails to have a unique solution at some point on the solution. The set on which a solution is singular may be as small as a single point or as large as the full real line. Solutions which are singular in the sense that the initial value problem fails to have a unique solution need not be singular functions. In some cases, the term singular solution is used to mean a solution at which there is a failure of uniqueness to the initial value problem at every point on the curve. A singular solution in this stronger sense is often given as tangent to every solution from a family of solutions. By tangent we mean that there is a point x where ys(x) = yc(x) and y's(x) = y'c(x) where yc is a solution in a family of solutions parameterized by c. This means that the singular solution is the envelope of the family of solutions. Usually, singular solutions appear in differential equations when there is a need to divide in a term that might be equal to zero. Therefore, when one is solving a differential equation and using division one must check what happens if the term is equal to zero, and whether it leads to a singular solution. The Picard–Lindelöf theorem, which gives sufficient conditions for unique solutions to exist, can be used to rule out the existence of singular solutions. Other theorems, such as the Peano existence theorem, give sufficient conditions for solutions to exist without necessarily being unique, which can allow for the existence of singular solutions.