Введение

Одиночное решение ys(x) обыкновенного дифференциального уравнения – это решение, которое является особым или для которого задача начальных условий (также называемая задачей Коши некоторыми авторами) не имеет единственного решения в некоторой точке на решении. Множество, на котором решение является особым, может быть столь малым, как одна точка, или столь большим, как вся вещественная прямая. Решения, которые являются особыми в том смысле, что задача начальных условий не имеет единственного решения, не обязательно должны быть особыми функциями. В некоторых случаях термин «одиночное решение» используется для обозначения решения, при котором теряется единственность задачи начальных условий в каждой точке кривой. Одиночное решение в этом более строгом смысле часто является касательной к каждому решению из семейства решений. Под касательной подразумевается, что существует точка x, где ys(x) = yc(x) и y's(x) = y'c(x), где yc – решение в семействе решений, параметризованном c. Это означает, что одиночное решение является огибающей семейства решений. Обычно особые решения возникают в дифференциальных уравнениях, когда возникает необходимость делить на слагаемое, которое может быть равно нулю. Поэтому при решении дифференциального уравнения и использовании деления необходимо проверять, что происходит, если это слагаемое равно нулю, и приводит ли это к особому решению. Теорема Пикара — Линделёфа, которая дает достаточные условия для существования единственных решений, может быть использована для исключения существования особых решений. Другие теоремы, такие как теорема о существовании Пеано, дают достаточные условия для существования решений, не обязательно единственных, что может допускать существование особых решений.