Алгебралық геометриядағы топ схемалары

Кіріспе

Математикада топтық схема – композиция заңымен жабдықталған алгебралық геометрия нысанының бір түрі. Топтық схемалар схемалардың симметриясы ретінде табиғи түрде туындайды және алгебралық топтарды жалпылайды, яғни кез келген алгебралық топтың топтық схема құрылымы болады, бірақ топтық схемалар міндетті түрде байланысқан, тегіс немесе белгілі бір өріс үстінде анықталған болуы шарт емес. Бұл қосымша жалпылық сансыз кішкентай құрылымдарды зерттеуге мүмкіндік береді, бұл арифметикалық маңызы бар сұрақтарды түсінуге және оларға жауап беруге көмектеседі. Топтық схемалардың категориясы топтық сорттардың категориясынан жақсырақ, себебі барлық гомоморфизмдердің ядролары бар және жақсы дамыған деформация теориясы бар. Алгебралық топтар емес топтық схемалар арифметикалық геометрия мен алгебралық топологияда маңызды рөл атқарады, өйткені олар Галуа өкілдіктері мен модульдер мәселелерінің аясында кездеседі. Топтық схемалар теориясының бастапқы дамуы 1960 жылдардың басында Александр Гротендик, Мишель Рейно және Мишель Демазурдың еңбектерімен байланысты.

Құрылыстар

G тобын ескере отырып, GS тұрақты топтық схемасын құруға болады. Схема ретінде, бұл S көшірмелерінің ажыратылмаған жиыны, ал осы көшірмелерді G элементтерімен сәйкестендіру арқылы, көбейту, бірлік және кері операцияларды құрылымдық көшу арқылы анықтауға болады. Функтор ретінде, ол кез келген S-схемасы T-ні G тобының көшірмелерінің көбейтіндісіне бейнелейді, мұнда көшірмелердің саны T-нің байланысқан компоненттерінің санына тең. GS, G шекті топ болған жағдайда ғана S-ке қатысты аффинді болады. Дегенмен, шекті тұрақты топтық схемалардың проективтік шектерін алып, түпкілікті топтық схемаларды алуға болады, олар негізгі топтар мен Галуа бейнелеулерін зерттеуде немесе негізгі топтық схема теориясында қолданылады, және олар шексіз типті аффинді болады. Әрі, S-тегі топтардың жергілікті тұрақты шоғын алып, жергілікті тұрақты топтық схеманы алуға болады, онда базадағы монодромия талшықтардағы тривиальды емес автоморфизмдерді тудыруы мүмкін. Схемалардың талшықты көбейтінділерінің болуы бірнеше құрылымдарды жасауға мүмкіндік береді. Топтық схемалардың шекті тікелей көбейтінділері канондық топтық схема құрылымына ие. Автоморфизмдер арқылы бір топтық схеманың екіншісіне әсерін ескере отырып, әдеттегі теориялық құрылымды орындау арқылы жартылай тікелей көбейтінділерді құруға болады. Топтық схема гомоморфизмінің ядросы – базадан бірлікке дейінгі талшықты көбейтінді арқылы топтық схема. Негізгі өзгеріс топтық схемаларды топтық схемаларға жібереді. Топтық схемаларды базалық схемалардың кейбір морфизміне қатысты скалярларды шектеу арқылы кіші топтық схемалардан құруға болады, бірақ алынған функтордың бейнеленуін қамтамасыз ету үшін шектілік шарттары орындалуы керек. Бұл морфизм өрістердің шекті кеңейтуі бойынша болған жағдайда, ол Вейль шектеуі деп аталады. Кез келген абельдік топ A үшін, D(A) функторы ретінде анықталатын, сәйкес диагонализацияланған топ D(A)-ны құруға болады, яғни D(A)(T) – A-дан T-нің әрбір S-схемасы үшін OT-нің инвертирленетін глобалдық қималарына дейінгі абельдік топ гомоморфизмінің жиыны. Егер S аффинді болса, D(A)-ны топтық сақинаның спектрі ретінде құруға болады. Әрі, A-ны S-тегі абельдік топтардың тұрақты емес шоғы ретінде қарастыру арқылы көбейтуші типтегі топтарды құруға болады. G топтық схемасының H кіші схемасы үшін, S-схемасын T-ден G(T)/H(T)-ге бейнелейтін функтор, әдетте, шоқ емес, тіпті оның шоқтығы да схема ретінде бейнеленбейді. Дегенмен, егер H шекті, жазық және G-де жабық болса, онда бөлігіш бейнеленеді және аударма арқылы канондық сол G-әрекетіне ие болады. Егер бұл әрекеттің H-ға шектеуі тривиальды болса, онда H қалыпты деп аталады, ал бөлігіш схема табиғи топ заңын қабылдайды. Бейнелену көптеген басқа жағдайларда да орын алады, мысалы, H G-де жабық және екеуі де аффинді болғанда.

Given a group G, one can form the constant group scheme GS. As a scheme, it is a disjoint union of copies of S, and by choosing an identification of these copies with elements of G, one can define the multiplication, unit, and inverse maps by transport of structure. As a functor, it takes any S scheme T to a product of copies of the group G, where the number of copies is equal to the number of connected components of T. GS is affine over S if and only if G is a finite group. However, one can take a projective limit of finite constant group schemes to get profinite group schemes, which appear in the study of fundamental groups and Galois representations or in the theory of the fundamental group scheme, and these are affine of infinite type. More generally, by taking a locally constant sheaf of groups on S, one obtains a locally constant group scheme, for which monodromy on the base can induce non trivial automorphisms on the fibers. The existence of fiber products of schemes allows one to make several constructions. Finite direct products of group schemes have a canonical group scheme structure. Given an action of one group scheme on another by automorphisms, one can form semidirect products by following the usual set theoretic construction. Kernels of group scheme homomorphisms are group schemes, by taking a fiber product over the unit map from the base. Base change sends group schemes to group schemes. Group schemes can be formed from smaller group schemes by taking restriction of scalars with respect to some morphism of base schemes, although one needs finiteness conditions to be satisfied to ensure representability of the resulting functor. When this morphism is along a finite extension of fields, it is known as Weil restriction. For any abelian group A, one can form the corresponding diagonalizable group D(A), defined as a functor by setting D(A)(T) to be the set of abelian group homomorphisms from A to invertible global sections of OT for each S scheme T. If S is affine, D(A) can be formed as the spectrum of a group ring. More generally, one can form groups of multiplicative type by letting A be a non constant sheaf of abelian groups on S.
For a subgroup scheme H of a group scheme G, the functor that takes an S scheme T to G(T)/H(T) is in general not a sheaf, and even its sheafification is in general not representable as a scheme. However, if H is finite, flat, and closed in G, then the quotient is representable, and admits a canonical left G action by translation. If the restriction of this action to H is trivial, then H is said to be normal, and the quotient scheme admits a natural group law. Representability holds in many other cases, such as when H is closed in G and both are affine.

Мысалдар

Gm көбейту тобының негізгі схемасы ретінде тесілген аффинді сызық бар, ал функтор ретінде ол S схемасын T құрылымдық шоғының инвертируемый глобальді қималарының көбейту тобына жібереді. Оны бүтін сандарға байланысты диагонализацияланатын D(Z) тобы ретінде сипаттауға болады. Spec A сияқты аффиндік негіз үстінде бұл A[x,y]/(xy − 1 сақинасының спектрі, ол A[x,x⁻¹] деп те жазылады. Бірлікке жіберу x-ті 1-ге жіберу арқылы беріледі, көбейту x-ті x ⊗ x-ке жіберу арқылы беріледі, ал керісінше x-ті x⁻¹-ге жіберу арқылы беріледі. Алгебралық торлар коммутативтік топтық схемалардың маңызды класын құрайды, олар S-де Gm көшірмелерінің көбейтіндісі болу қасиетімен немесе шекті түрде жасалған еркін абельдік топтармен байланысты мультипликативтік типтегі топтар ретінде анықталады. Жалпы сызықтық топ GLₙ — бұл n × n матрицалық сақина түрінің көбейтуші тобы ретінде қарастырылатын аффиндік алгебралық сан. Функтор ретінде ол S схемасы T-ді инвертибелді n × n матрицалар тобына жібереді, олардың элементтері T-дің жаһандық қималары болып табылады. Аффиндік негізде оны n² + 1 айнымалыдағы полиномдық сақинаны анықтауыштың инвертируемостьін кодтайтын идеалға бөлу арқылы құрастыруға болады. Сонымен қатар, оны 2n² айнымалыны қолдана отырып, өзара кері матрицалар жұбының реттік тізімін сипаттайтын қатынастармен құрастыруға болады. Кез келген оң бүтін сан n үшін μₙ тобы Gm-ден өзіне дейінгі n-ші дәрежелі функцияның ядросы болып табылады. Функтор ретінде ол кез келген S схемасы T-ді fn = 1 шартын қанағаттандыратын T-нің f жаһандық қималарының тобына жібереді. Spec A сияқты аффиндік негіз үстінде ол A[x]/(xⁿ − 1) спектрі болып табылады. Егер n негізде инвертируемый болмаса, онда бұл схема тегіс емес. Атап айтқанда, p сипаттамасы бар өріс бойынша μₚ тегіс емес. Ga қосымша тобының негізгі схемасы A₁ аффинді сызығы болып табылады. Функтор ретінде ол кез келген S схемасы T-ді құрылымдық шоғының жаһандық қималарының негізгі қосымша тобына жібереді. Spec A сияқты аффиндік негіз үстінде ол A[x] полиномдық сақинасының спектрі болып табылады. Бірлікке жіберу x-ті 0-ге жіберу арқылы беріледі, көбейту x-ті 1 ⊗ x + x ⊗ 1-ге жіберу арқылы беріледі, ал керісінше x-ті −x-ке жіберу арқылы беріледі. Егер p = 0 S үшін қандай да бір жай сан p үшін болса, онда p-ші дәрежеге көтеру Ga эндоморфизмін тудырады, ал ядро αₚ топтық схемасы болып табылады. Spec A сияқты аффиндік негіз үстінде ол A[x]/(xᵖ) спектрі болып табылады. Аффиндік түзудің автоморфизм тобы Ga мен Gm жартылай тура көбейтіндісіне изоморфты, мұнда қосымша топ аудармалар арқылы әрекет етеді, ал көбейтуші топ кеңейтулер арқылы әрекет етеді. Белгіленген негіздік нүктені бекітетін кіші топ көбейтуші топқа изоморфты, ал негіздік нүктені қосымша топ құрылымының бірлік элементі деп қабылдағанда Gm Ga автоморфизм тобымен сәйкестендіріледі. Белгіленген нүктесі бар тегіс бір туыс қисығы (яғни эллиптік қисық) осы нүктесі бар бірегей топтық схема құрылымына ие. Бұрынғы оң өлшемді мысалдардан айырмашылығы, эллиптік қисықтар проективті (әсіресе дұрыс).

The multiplicative group Gm has the punctured affine line as its underlying scheme, and as a functor, it sends an S scheme T to the multiplicative group of invertible global sections of the structure sheaf. It can be described as the diagonalizable group D(Z) associated to the integers. Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of the ring A[x,y]/(xy − 1), which is also written A[x, x−1]. The unit map is given by sending x to one, multiplication is given by sending x to x ⊗ x, and the inverse is given by sending x to x−1. Algebraic tori form an important class of commutative group schemes, defined either by the property of being locally on S a product of copies of Gm, or as groups of multiplicative type associated to finitely generated free abelian groups. The general linear group GLn is an affine algebraic variety that can be viewed as the multiplicative group of the n by n matrix ring variety. As a functor, it sends an S scheme T to the group of invertible n by n matrices whose entries are global sections of T. Over an affine base, one can construct it as a quotient of a polynomial ring in n2 + 1 variables by an ideal encoding the invertibility of the determinant. Alternatively, it can be constructed using 2n2 variables, with relations describing an ordered pair of mutually inverse matrices. For any positive integer n, the group μn is the kernel of the nth power map from Gm to itself. As a functor, it sends any S scheme T to the group of global sections f of T such that fn = 1. Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of A[x]/(xn−1). If n is not invertible in the base, then this scheme is not smooth. In particular, over a field of characteristic p, μp is not smooth. The additive group Ga has the affine line A1 as its underlying scheme. As a functor, it sends any S scheme T to the underlying additive group of global sections of the structure sheaf. Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of the polynomial ring A[x]. The unit map is given by sending x to zero, the multiplication is given by sending x to 1 ⊗ x + x ⊗ 1, and the inverse is given by sending x to −x. If p = 0 in S for some prime number p, then the taking of pth powers induces an endomorphism of Ga, and the kernel is the group scheme αp. Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of A[x]/(xp). The automorphism group of the affine line is isomorphic to the semidirect product of Ga by Gm, where the additive group acts by translations, and the multiplicative group acts by dilations. The subgroup fixing a chosen basepoint is isomorphic to the multiplicative group, and taking the basepoint to be the identity of an additive group structure identifies Gm with the automorphism group of Ga.
A smooth genus one curve with a marked point (i. e., an elliptic curve) has a unique group scheme structure with that point as the identity. Unlike the previous positive dimensional examples, elliptic curves are projective (in particular proper).

Негізгі қасиеттері

G - k өрісі бойынша шекті типтегі топтық схема деп есептейік. G0 – сәйкестіктің байланысқан компоненті, яғни ең үлкен байланысқан кіші топтық схема. Онда G – G0 арқылы шекті этальды топтық схеманың кеңейтімі. G-нің бірегей ең жоғары азайтылған Gred кіші схемасы бар, және егер k кемелді болса, онда Gred – G-нің кіші топтық схемасы болып табылатын тегіс топтың әртүрлілігі. Квотиент схемасы – шекті дәрежедегі жергілікті сақинаның спектрі. Кез келген аффиндік топтық схема – коммутативті Хопф алгебрасының спектрі болып табылады (S базасында, бұл OS алгебрасының салыстырмалы спектрімен беріледі). Топтық схеманың көбейту, бірлік және кері операциялары Хопф алгебрасындағы комультипликация, коунит және антипод құрылымдары арқылы беріледі. Хопф алгебрасындағы бірлік және көбейту құрылымдары негізгі схемаға тән. Кез келген G топтық схемасы үшін, жаһандық қималар сақинасының коммутативті Хопф алгебралық құрылымы бар, ал оның спектрін алу арқылы максималды аффиндік үлестік топты аламыз. Аффиндік топтық әртүрліліктер – сызықтық алгебралық топтар деп аталады, себебі оларды жалпы сызықтық топтардың кіші топтары ретінде ендіруге болады. Толық байланысқан топтық схемалар қандай да бір мағынада аффиндік топтық схемаларға қарама-қарсы, өйткені толықтығы барлық жаһандық қималардың негізден кері тартылғандармен сәйкес екенін білдіреді, және әсіресе, олардың аффиндік схемаларға тривиальды емес бейнелеулері жоқ. Кез келген толық топтық әртүрлілік (осы жерде әртүрлілік – өрістегі шекті типтегі қысқартылған және геометриялық тұрғыдан ирредуктивті бөлек схема) сәйкестіктің жатқан кеңістіктерінде конъюгацияның әрекетіне қатысты аргумент арқылы автоматты түрде коммутативті болып табылады. Толық топтық әртүрліліктер – абельдік әртүрліліктер деп аталады. Бұл абельдік схема түсінігіне жалпыланады; егер G-ден S-ке дейінгі құрылымдық морфизм геометриялық тұрғыдан байланысқан талшықтарымен дұрыс және тегіс болса, онда S негізіндегі G топтық схемасы абельдік болып табылады. Олар автоматты түрде проективті және көптеген қолданыстары бар, мысалы, геометриялық кластық өріс теориясында және алгебралық геометрияның барлық салаларында. Дегенмен, өрістегі толық топтық схема коммутативті болуы міндетті емес; мысалы, кез келген шекті топтық схема толық.

Suppose that G is a group scheme of finite type over a field k. Let G0 be the connected component of the identity, i. e., the maximal connected subgroup scheme. Then G is an extension of a finite étale group scheme by G0. G has a unique maximal reduced subscheme Gred, and if k is perfect, then Gred is a smooth group variety that is a subgroup scheme of G. The quotient scheme is the spectrum of a local ring of finite rank. Any affine group scheme is the spectrum of a commutative Hopf algebra (over a base S, this is given by the relative spectrum of an OS algebra). The multiplication, unit, and inverse maps of the group scheme are given by the comultiplication, counit, and antipode structures in the Hopf algebra. The unit and multiplication structures in the Hopf algebra are intrinsic to the underlying scheme. For an arbitrary group scheme G, the ring of global sections also has a commutative Hopf algebra structure, and by taking its spectrum, one obtains the maximal affine quotient group. Affine group varieties are known as linear algebraic groups, since they can be embedded as subgroups of general linear groups. Complete connected group schemes are in some sense opposite to affine group schemes, since the completeness implies all global sections are exactly those pulled back from the base, and in particular, they have no nontrivial maps to affine schemes. Any complete group variety (variety here meaning reduced and geometrically irreducible separated scheme of finite type over a field) is automatically commutative, by an argument involving the action of conjugation on jet spaces of the identity. Complete group varieties are called abelian varieties. This generalizes to the notion of abelian scheme; a group scheme G over a base S is abelian if the structural morphism from G to S is proper and smooth with geometrically connected fibers. They are automatically projective, and they have many applications, e. g., in geometric class field theory and throughout algebraic geometry. A complete group scheme over a field need not be commutative, however; for example, any finite group scheme is complete.

Шекті жалпақ топтық схемалар

Noetherian схемасы S арқылы топтық схема G шекті және жазық, егер және ғана егер OG шекті дәрежедегі жергілікті еркін OS модулі болса. Рангы S-де жергілікті тұрақты функция болып табылады және G-нің реті деп аталады. Тұрақты топтық схеманың реті тиісті топтың ретіне тең, ал жалпы алғанда, реті негіздің өзгеруіне және скалярлардың шекті жазық шектеуіне қатысты жақсы қасиеттерге ие. Шекті жазық топтық схемалардың арасында тұрақтылар (жоғарыдағы мысалға қараңыз) ерекше класс құрайды, ал нөлдік сипаттағы алгебралық жабық өріс үстінде шекті топтардың санаты тұрақты шекті топтық схемалардың санатына эквивалентті. Оң сипаттамасы бар немесе одан да көп арифметикалық құрылымы бар негіздерде қосымша изоморфизм түрлері бар. Мысалы, егер 2 негізде инверттендірілсе, 2-ші реттік барлық топтық схемалар тұрақты болады, бірақ 2-адикалық бүтін сандар үстінде μ2 тұрақты емес, себебі ерекше талшық тегіс емес. 2-ші реттік топтық схемалардың изоморфизм түрлерінің саны кез келгендей өсетін, жоғары тармақталған 2-адикалық сақиналардың тізбектері бар. П-адикалық сақиналардағы коммутативті шекті жазық топтық схемалардың егжей-тегжейлі талдауын Рейноның ұзартулар туралы еңбегінен табуға болады. Коммутативті шекті жазық топтық схемалар табиғатта жиі абельдік және жартылай абельдік сорттардың кіші топтық схемалары ретінде кездеседі, ал оң немесе аралас сипаттамада олар қоршаған ортаның сорты туралы көптеген ақпаратты қамтиды. Мысалы, нөлдік сипаттағы эллиптік қисықтың p-торсиясы p2 реттік тұрақты элементарлық абельдік топ схемасына жергілікті түрде изоморфты, бірақ Fp үстінде ол p байланысқан компоненті бар (егер қисық қарапайым болса) немесе бір байланысқан компоненті бар (егер қисық суперсингуляр болса) p2 реттік шекті жазық топ схемасы болып табылады. Эллиптік қисықтардың отбасын қарастырсақ, p-торсия параметрлеу кеңістігінде шекті жазық топ схемасын құрайды, ал суперсингулярлық локусы – талшықтардың байланысқан жері. Байланысқан компоненттердің бірігуін модульдік схемадан қатты аналитикалық кеңістікке өту арқылы егжей-тегжейлі зерттеуге болады, онда суперсингулярлық нүктелер оң радиусы бар дискілермен алмастырылады.

A group scheme G over a noetherian scheme S is finite and flat if and only if OG is a locally free OS module of finite rank. The rank is a locally constant function on S, and is called the order of G. The order of a constant group scheme is equal to the order of the corresponding group, and in general, order behaves well with respect to base change and finite flat restriction of scalars. Among the finite flat group schemes, the constants (cf. example above) form a special class, and over an algebraically closed field of characteristic zero, the category of finite groups is equivalent to the category of constant finite group schemes. Over bases with positive characteristic or more arithmetic structure, additional isomorphism types exist. For example, if 2 is invertible over the base, all group schemes of order 2 are constant, but over the 2 adic integers, μ2 is non constant, because the special fiber isn't smooth. There exist sequences of highly ramified 2 adic rings over which the number of isomorphism types of group schemes of order 2 grows arbitrarily large. More detailed analysis of commutative finite flat group schemes over p adic rings can be found in Raynaud's work on prolongations. Commutative finite flat group schemes often occur in nature as subgroup schemes of abelian and semi abelian varieties, and in positive or mixed characteristic, they can capture a lot of information about the ambient variety. For example, the p torsion of an elliptic curve in characteristic zero is locally isomorphic to the constant elementary abelian group scheme of order p2, but over Fp, it is a finite flat group scheme of order p2 that has either p connected components (if the curve is ordinary) or one connected component (if the curve is supersingular). If we consider a family of elliptic curves, the p torsion forms a finite flat group scheme over the parametrizing space, and the supersingular locus is where the fibers are connected. This merging of connected components can be studied in fine detail by passing from a modular scheme to a rigid analytic space, where supersingular points are replaced by discs of positive radius.

Картье дуалдығы

Картье дуалдығы — шекті коммутативтік топтық схемаларды шекті коммутативтік топтық схемаларға бейнелейтін Понтрягин дуалдығының схемалық аналогы.

Диодтандырылған модульдер

Пәтерлі, оң сипаттамалы p-ге ие толық өріс k-дегі шекті жазық коммутативті топтық схемаларды зерттеу үшін олардың геометриялық құрылымын (жартылай) сызықтық алгебралық ортаға көшіруге болады. Негізгі объект – Диодонн сақинасы D = W(k){F,V}/(FV − p), ол k Витт векторларындағы коэффициенттері бар коммутативті емес полиномиалдар сақинасының бөлшегі. F және V – Фробень және Вершибунг операторлары, олар Витт векторларында тривиальды емес әрекет ете алады. Диодонн мен Картье p дәрежесіне ие k-дегі шекті коммутативті топтық схемалар мен шекті W(k) ұзындығы бар D-модульдер арасындағы категориялардың антиэквиваленттігін құрастырды. Диедонн модульдік функторы бір бағытта Витт ковекторларының абелдік шоғыры CW-ға гомоморфизмдер арқылы беріледі. Бұл шоғыр Витт векторларының шоғырына (фактыда, топтық схемамен бейнеленеді) шамалы дуалды, себебі ол V: Wn → Wn+1 Вершибунг карталарының тікелей шегі арқылы шекті ұзындықтағы Витт векторларын алып, содан кейін толықтыру арқылы құрастырылады. Коммутативті топтық схемалардың көптеген қасиеттерін сәйкес Диедонн модульдерін қарастыру арқылы көруге болады, мысалы, байланысты p топтық схемалары F нильпотентті D модульдеріне сәйкес келеді, ал этальдық топтық схемалары F изоморфизм болатын модульдерге сәйкес келеді. Диедонн теориясы өрістегі шекті жазық топтардан гөрі жалпырақ жағдайда бар. Оданың 1967 жылғы диссертациясы Диедонн модульдері мен абельдік сорттардың бірінші де Рам когомологиясы арасындағы байланысты көрсетті, ал шамамен сол уақытта Гротендик теорияның кристалдық нұсқасы болуы керек екенін ұсынды, оны p-бөлінгіш топтарды талдау үшін қолдануға болады. Топтық схемалардағы Галуа әрекеттері категориялардың эквиваленттігі арқылы көшіріледі, ал байланысты деформация теориясы Галуа бейнелеулері Уайлстың Шимура–Танияма болжамын зерттеуде қолданылды.