Схемы групп в алгебраической геометрии

Введение

В математике групповая схема — это тип объекта из алгебраической геометрии, снабжённый законом композиции. Групповые схемы возникают естественным образом как симметрии схем и обобщают алгебраические группы в том смысле, что каждая алгебраическая группа имеет структуру групповой схемы, но групповые схемы не обязательно связны, гладки или определены над полем. Эта дополнительная общность позволяет изучать более богатые инфинитезимальные структуры, что может помочь в понимании и решении вопросов арифметического значения. Категория групповых схем устроена несколько лучше, чем категория групповых многообразий, поскольку все гомоморфизмы имеют ядра и существует хорошо развитая теория деформаций. Групповые схемы, не являющиеся алгебраическими группами, играют важную роль в арифметической геометрии и алгебраической топологии, поскольку они возникают в контексте представлений Галуа и задач модулей. Первоначальное развитие теории групповых схем связано с именами Александра Гротендика, Мишеля Рейно и Мишеля Демазура в начале 1960-х годов.

Строительство

При наличии группы G можно сформировать постоянную групповую схему GS. Как схема, это разрозненное объединение копий S, и, выбрав отождествление этих копий с элементами G, можно определить умножение, единицу и обратные отображения посредством переноса структуры. Как функтор, он отображает любую S-схему T в произведение копий группы G, где число копий равно числу связных компонент T. GS аффинна над S тогда и только тогда, когда G является конечной группой. Однако можно взять проективный предел конечных постоянных групповых схем, чтобы получить проконечные групповые схемы, которые возникают в изучении фундаментальных групп и представлений Галуа или в теории фундаментальной групповой схемы, и они аффинны бесконечного типа. В более общем случае, взяв локально постоянный пучок групп на S, можно получить локально постоянную групповую схему, для которой монодромия на базе может индуцировать нетривиальные автоморфизмы на волокнах. Существование волокнистых произведений схем позволяет осуществить несколько построений. Конечные прямые произведения групповых схем имеют каноническую структуру групповой схемы. При заданном действии одной групповой схемы на другую посредством автоморфизмов можно сформировать полупрямые произведения, следуя обычному теоретико-множественному построению. Ядра групповых гомоморфизмов схемы группы являются группами, путем взятия волокнистого произведения над единичным отображением из базы. Изменение базы переводит групповые схемы в групповые схемы. Групповые схемы могут быть построены из меньших групповых схем путем ограничения скаляров относительно некоторого морфизма базовых схем, хотя для обеспечения представимости получаемого функтора необходимо выполнение условий конечности. Когда этот морфизм происходит вдоль конечного расширения полей, он известен как ограничение Вейля. Для любой абелевой группы A можно сформировать соответствующую диагонализуемую группу D(A), определяемую как функтор, устанавливающий D(A)(T) равным множеству абелевых групповых гомоморфизмов из A в обратимые глобальные сечения OT для каждой S-схемы T. Если S аффинна, D(A) можно сформировать как спектр группового кольца. В более общем случае можно сформировать группы мультипликативного типа, позволяя A быть неконстантным пучком абелевых групп на S.
Для подгрупповой схемы H групповой схемы G функтор, который отображает S-схему T в G(T)/H(T), вообще говоря, не является пучком, и даже его пучкование вообще говоря не представимо как схема. Однако, если H конечна, плоска и замкнута в G, то частное представимо и допускает каноническое левое действие G посредством сдвига. Если ограничение этого действия на H тривиально, то H называется нормальной, и частная схема допускает естественный групповой закон. Представимость выполняется во многих других случаях, например, когда H замкнута в G и обе аффинны.

Given a group G, one can form the constant group scheme GS. As a scheme, it is a disjoint union of copies of S, and by choosing an identification of these copies with elements of G, one can define the multiplication, unit, and inverse maps by transport of structure. As a functor, it takes any S scheme T to a product of copies of the group G, where the number of copies is equal to the number of connected components of T. GS is affine over S if and only if G is a finite group. However, one can take a projective limit of finite constant group schemes to get profinite group schemes, which appear in the study of fundamental groups and Galois representations or in the theory of the fundamental group scheme, and these are affine of infinite type. More generally, by taking a locally constant sheaf of groups on S, one obtains a locally constant group scheme, for which monodromy on the base can induce non trivial automorphisms on the fibers. The existence of fiber products of schemes allows one to make several constructions. Finite direct products of group schemes have a canonical group scheme structure. Given an action of one group scheme on another by automorphisms, one can form semidirect products by following the usual set theoretic construction. Kernels of group scheme homomorphisms are group schemes, by taking a fiber product over the unit map from the base. Base change sends group schemes to group schemes. Group schemes can be formed from smaller group schemes by taking restriction of scalars with respect to some morphism of base schemes, although one needs finiteness conditions to be satisfied to ensure representability of the resulting functor. When this morphism is along a finite extension of fields, it is known as Weil restriction. For any abelian group A, one can form the corresponding diagonalizable group D(A), defined as a functor by setting D(A)(T) to be the set of abelian group homomorphisms from A to invertible global sections of OT for each S scheme T. If S is affine, D(A) can be formed as the spectrum of a group ring. More generally, one can form groups of multiplicative type by letting A be a non constant sheaf of abelian groups on S.
For a subgroup scheme H of a group scheme G, the functor that takes an S scheme T to G(T)/H(T) is in general not a sheaf, and even its sheafification is in general not representable as a scheme. However, if H is finite, flat, and closed in G, then the quotient is representable, and admits a canonical left G action by translation. If the restriction of this action to H is trivial, then H is said to be normal, and the quotient scheme admits a natural group law. Representability holds in many other cases, such as when H is closed in G and both are affine.

Примеры

Умножающая группа Gm имеет проколотую аффинную прямую в качестве базовой схемы, и как функтор она отображает S-схему T в мультипликативную группу обратимых глобальных сечений структурного пучка. Её можно описать как диагонализуемую группу D(ℤ), ассоциированную с целыми числами. Над аффинным базисом, таким как Spec A, это спектр кольца A[x,y]/(xy − 1), который также записывается как A[x,x−1]. Единичное отображение задается отправкой x в единицу, умножение задается отправкой x в x ⊗ x, а обратное – отправкой x в x−1. Алгебраические торы образуют важный класс коммутативных групповых схем, определяемых либо свойством быть локально на S произведением копий Gm, либо как групп мультипликативного типа, ассоциированных с конечно порожденными свободными абелевыми группами. Общая линейная группа GLn является аффинным алгебраическим многообразием, которое можно рассматривать как мультипликативную группу многообразия кольца n × n матриц. Как функтор, она отображает S-схему T в группу обратимых n × n матриц, элементы которых являются глобальными сечениями T. Над аффинным базисом её можно построить как фактор кольца многочленов от n² + 1 переменных по идеалу, кодирующему обратимость определителя. Альтернативно, её можно построить, используя 2n² переменных, с соотношениями, описывающими упорядоченную пару взаимно обратных матриц. Для любого положительного целого числа n группа μn является ядром n-й степени отображения из Gm в себя. Как функтор, она отображает любую S-схему T в группу глобальных сечений f из T таких, что fn = 1. Над аффинным базисом, таким как Spec A, это спектр A[x]/(xn−1). Если n не является обратимым в базисе, то эта схема не является гладкой. В частности, над полем характеристики p, μp не является гладкой. Аддитивная группа Ga имеет аффинную прямую A¹ в качестве базовой схемы. Как функтор, она отображает любую S-схему T в базовую аддитивную группу глобальных сечений структурного пучка. Над аффинным базисом, таким как Spec A, это спектр кольца многочленов A[x]. Единичное отображение задается отправкой x в ноль, умножение задается отправкой x в 1 ⊗ x + x ⊗ 1, а обратное – отправкой x в −x. Если p = 0 в S для некоторого простого числа p, то взятие p-й степени индуцирует эндоморфизм Ga, а ядро является групповой схемой αp. Над аффинным базисом, таким как Spec A, это спектр A[x]/(xp). Группа автоморфизмов аффинной прямой изоморфна полупрямому произведению Ga на Gm, где аддитивная группа действует с помощью сдвигов, а мультипликативная группа действует с помощью растяжений. Подгруппа, фиксирующая выбранную базовую точку, изоморфна мультипликативной группе, а выбор базовой точки в качестве единицы аддитивной структуры отождествляет Gm с группой автоморфизмов Ga. Гладкая кривая рода один с отмеченной точкой (т.е. эллиптическая кривая) имеет единственную структуру групповой схемы с этой точкой в качестве единицы. В отличие от предыдущих примеров положительной размерности, эллиптические кривые являются проективными (в частности, собственными).

The multiplicative group Gm has the punctured affine line as its underlying scheme, and as a functor, it sends an S scheme T to the multiplicative group of invertible global sections of the structure sheaf. It can be described as the diagonalizable group D(Z) associated to the integers. Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of the ring A[x,y]/(xy − 1), which is also written A[x, x−1]. The unit map is given by sending x to one, multiplication is given by sending x to x ⊗ x, and the inverse is given by sending x to x−1. Algebraic tori form an important class of commutative group schemes, defined either by the property of being locally on S a product of copies of Gm, or as groups of multiplicative type associated to finitely generated free abelian groups. The general linear group GLn is an affine algebraic variety that can be viewed as the multiplicative group of the n by n matrix ring variety. As a functor, it sends an S scheme T to the group of invertible n by n matrices whose entries are global sections of T. Over an affine base, one can construct it as a quotient of a polynomial ring in n2 + 1 variables by an ideal encoding the invertibility of the determinant. Alternatively, it can be constructed using 2n2 variables, with relations describing an ordered pair of mutually inverse matrices. For any positive integer n, the group μn is the kernel of the nth power map from Gm to itself. As a functor, it sends any S scheme T to the group of global sections f of T such that fn = 1. Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of A[x]/(xn−1). If n is not invertible in the base, then this scheme is not smooth. In particular, over a field of characteristic p, μp is not smooth. The additive group Ga has the affine line A1 as its underlying scheme. As a functor, it sends any S scheme T to the underlying additive group of global sections of the structure sheaf. Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of the polynomial ring A[x]. The unit map is given by sending x to zero, the multiplication is given by sending x to 1 ⊗ x + x ⊗ 1, and the inverse is given by sending x to −x. If p = 0 in S for some prime number p, then the taking of pth powers induces an endomorphism of Ga, and the kernel is the group scheme αp. Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of A[x]/(xp). The automorphism group of the affine line is isomorphic to the semidirect product of Ga by Gm, where the additive group acts by translations, and the multiplicative group acts by dilations. The subgroup fixing a chosen basepoint is isomorphic to the multiplicative group, and taking the basepoint to be the identity of an additive group structure identifies Gm with the automorphism group of Ga.
A smooth genus one curve with a marked point (i. e., an elliptic curve) has a unique group scheme structure with that point as the identity. Unlike the previous positive dimensional examples, elliptic curves are projective (in particular proper).

Основные свойства

Предположим, что G — это групповая схема конечного типа над полем k. Пусть G₀ — связная компонента единицы, то есть максимальная связная подгрупповая схема. Тогда G является расширением конечной этальной групповой схемы по G₀. G имеет единственную максимальную редуцированную подсхему Gred, и если k — совершенное поле, то Gred является гладкой групповой разновидностью, являющейся подгрупповой схемой G. Факторсхема — это спектр локального кольца конечного ранга. Любая аффинная групповая схема является спектром коммутативной алгебры Хопфа (над основанием S это задается относительным спектром алгебры OS). Умножение, единица и обратное отображение групповой схемы задаются структурами коммультипликации, коединицы и антипода в алгебре Хопфа. Структуры единицы и умножения в алгебре Хопфа присущи лежащей в основе схеме. Для произвольной групповой схемы G кольцо глобальных сечений также имеет структуру коммутативной алгебры Хопфа, и, взяв его спектр, получаем максимальную аффинную факторгруппу. Аффинные групповые разновидности известны как линейные алгебраические группы, поскольку их можно вложить как подгруппы общих линейных групп. Полные связные групповые схемы в некотором смысле противоположны аффинным групповым схемам, поскольку полнота подразумевает, что все глобальные сечения — это именно те, которые индуцированы с основания, и, в частности, у них нет нетривиальных отображений в аффинные схемы. Любая полная групповая разновидность (разновидность здесь означает редуцированную и геометрически неприводимую разделенную схему конечного типа над полем) автоматически коммутативна, согласно аргументу, включающему действие сопряжения на струях пространства единицы. Полные групповые разновидности называются абелевыми разновидностями. Это обобщается до понятия абелевой схемы; групповая схема G над основанием S является абелевой, если структурный морфизм из G в S является собственным и гладким с геометрически связными волокнами. Они автоматически проективны и имеют множество применений, например, в геометрической теории полей классов и во всей алгебраической геометрии. Однако полная групповая схема над полем не обязана быть коммутативной; например, любая конечная групповая схема является полной.

Suppose that G is a group scheme of finite type over a field k. Let G0 be the connected component of the identity, i. e., the maximal connected subgroup scheme. Then G is an extension of a finite étale group scheme by G0. G has a unique maximal reduced subscheme Gred, and if k is perfect, then Gred is a smooth group variety that is a subgroup scheme of G. The quotient scheme is the spectrum of a local ring of finite rank. Any affine group scheme is the spectrum of a commutative Hopf algebra (over a base S, this is given by the relative spectrum of an OS algebra). The multiplication, unit, and inverse maps of the group scheme are given by the comultiplication, counit, and antipode structures in the Hopf algebra. The unit and multiplication structures in the Hopf algebra are intrinsic to the underlying scheme. For an arbitrary group scheme G, the ring of global sections also has a commutative Hopf algebra structure, and by taking its spectrum, one obtains the maximal affine quotient group. Affine group varieties are known as linear algebraic groups, since they can be embedded as subgroups of general linear groups. Complete connected group schemes are in some sense opposite to affine group schemes, since the completeness implies all global sections are exactly those pulled back from the base, and in particular, they have no nontrivial maps to affine schemes. Any complete group variety (variety here meaning reduced and geometrically irreducible separated scheme of finite type over a field) is automatically commutative, by an argument involving the action of conjugation on jet spaces of the identity. Complete group varieties are called abelian varieties. This generalizes to the notion of abelian scheme; a group scheme G over a base S is abelian if the structural morphism from G to S is proper and smooth with geometrically connected fibers. They are automatically projective, and they have many applications, e. g., in geometric class field theory and throughout algebraic geometry. A complete group scheme over a field need not be commutative, however; for example, any finite group scheme is complete.

Схемы с ограниченной плоской группой

Групповая схема G над ноэтерианской схемой S конечна и плоская тогда и только тогда, когда OG является локально свободным OS-модулем конечного ранга. Ранг – это локально постоянная функция на S, называемая порядком G. Порядок постоянной групповой схемы равен порядку соответствующей группы, и в общем случае порядок хорошо ведет себя относительно изменения основания и конечного плоского ограничения скаляров. Среди конечных плоских групповых схем константы (см. пример выше) образуют особый класс, и над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль категория конечных групп эквивалентна категории постоянных конечных групповых схем. Над основаниями с положительной характеристикой или более сложной арифметической структурой существуют дополнительные типы изоморфизмов. Например, если 2 обратимо над основанием, то все групповые схемы порядка 2 постоянны, но над 2-адическими целыми числами μ2 не является постоянной, поскольку специальное волокно не гладкое. Существуют последовательности сильно разветвленных 2-адических колец, над которыми число типов изоморфизма групповых схем 2-го порядка может быть сколь угодно большим. Более подробный анализ коммутативных конечных плоских групповых схем над p-адическими кольцами можно найти в работах Рейно о пролонгациях. Коммутативные конечные плоские групповые схемы часто встречаются в природе как подгрупповые схемы абелевых и полуабелевых многообразий, и в положительной или смешанной характеристике они могут содержать много информации об окружающем многообразии. Например, p-торсия эллиптической кривой в характеристике ноль локально изоморфна постоянной элементарной абелевой групповой схеме порядка p2, но над Fp это конечная плоская групповая схема порядка p2, которая имеет либо p связных компонент (если кривая обычная), либо одну связную компоненту (если кривая суперсингулярная). Если рассматривать семейство эллиптических кривых, то p-торсия образует конечную плоскую групповую схему над параметризующим пространством, а суперсингулярный локус – это место, где волокна связны. Это слияние связных компонент можно изучать в мельчайших деталях, переходя от модульной схемы к жесткому аналитическому пространству, где суперсингулярные точки заменяются дисками положительного радиуса.

A group scheme G over a noetherian scheme S is finite and flat if and only if OG is a locally free OS module of finite rank. The rank is a locally constant function on S, and is called the order of G. The order of a constant group scheme is equal to the order of the corresponding group, and in general, order behaves well with respect to base change and finite flat restriction of scalars. Among the finite flat group schemes, the constants (cf. example above) form a special class, and over an algebraically closed field of characteristic zero, the category of finite groups is equivalent to the category of constant finite group schemes. Over bases with positive characteristic or more arithmetic structure, additional isomorphism types exist. For example, if 2 is invertible over the base, all group schemes of order 2 are constant, but over the 2 adic integers, μ2 is non constant, because the special fiber isn't smooth. There exist sequences of highly ramified 2 adic rings over which the number of isomorphism types of group schemes of order 2 grows arbitrarily large. More detailed analysis of commutative finite flat group schemes over p adic rings can be found in Raynaud's work on prolongations. Commutative finite flat group schemes often occur in nature as subgroup schemes of abelian and semi abelian varieties, and in positive or mixed characteristic, they can capture a lot of information about the ambient variety. For example, the p torsion of an elliptic curve in characteristic zero is locally isomorphic to the constant elementary abelian group scheme of order p2, but over Fp, it is a finite flat group scheme of order p2 that has either p connected components (if the curve is ordinary) or one connected component (if the curve is supersingular). If we consider a family of elliptic curves, the p torsion forms a finite flat group scheme over the parametrizing space, and the supersingular locus is where the fibers are connected. This merging of connected components can be studied in fine detail by passing from a modular scheme to a rigid analytic space, where supersingular points are replaced by discs of positive radius.

Двойственность Картье

Двойственность Картье — это схема-теоретический аналог дуальности Понтрягина, отображающий конечные коммутативные групповые схемы в конечные коммутативные групповые схемы.

Модули из сплава

Конечные плоские коммутативные групповые схемы над совершенным полем k положительной характеристики p могут быть изучены путем переноса их геометрической структуры в (полу)линейную алгебраическую постановку. Основной объект – кольцо Диедонне D = W(k){F,V}/(FV − p), являющееся факторкольцом кольца некомутативных многочленов с коэффициентами в векторах Витта поля k. F и V – операторы Фробениуса и Вершибунга, которые могут действовать нетривиально на векторах Витта. Диедонн и Картье построили антиэквивалентность категорий между конечными коммутативными групповыми схемами порядка, являющегося степенью p, и модулями над D с конечной длиной W(k). Функтор модуля Диедонне в одном направлении задается гомоморфизмами в абелево пучок CW ковекторов Витта. Этот пучок в некотором смысле дуален пучку векторов Витта (который фактически представим групповой схемой), поскольку он строится путем взятия прямой границы конечных векторов Витта относительно последовательных отображений Вершибунга V: Wn → Wn+1, с последующим дополнением. Многие свойства коммутативных групповых схем можно изучить, рассматривая соответствующие модули Диедонне, например, связные p-групповые схемы соответствуют D-модулям, для которых F нильпотентен, а этальные групповые схемы – модулям, для которых F является изоморфизмом. Теория Диедонне существует в несколько более общем контексте, чем конечные плоские группы над полем. В диссертации Оды 1967 года была установлена связь между модулями Диедонне и первой когомологией де Рама абелевых многообразий, и примерно в то же время Гротендик предположил, что должна существовать кристаллическая версия теории, которую можно использовать для анализа p-делимых групп. Действия Галуа на групповых схемах переносятся посредством эквивалентностей категорий, а связанная с этим теория деформаций представлений Галуа была использована в работе Уайлса над гипотезой Симура — Таниямы.