Кіріспе
Коммутативтік алгебрадағы жергілікті сақина. Коммутативтік алгебрада Горенштейн жергілікті сақинасы – R модулі ретінде шекті инъективті өлшемге ие коммутативті Ноэтериандық жергілікті сақина R болып табылады. Оған тең келетін көптеген шарттар бар, олардың кейбіреулері төменде тізілген, көбінесе Горенштейн сақинасы белгілі бір мағынада өзіне-өзі қос сақина екенін көрсетеді. Горенштейн сақиналарын Гротендик 1961 жылғы семинарында енгізді (жарияланды). Атауы (Горенштейн сақинасының анықтамасын түсінбейтінін айтуды ұнататын) дара жазықтық қисықтарының қос қасиетінен шыққан. Нөлдік өлшемді жағдайды зерткен, ал Горенштейн сақиналары туралы түсінікті жариялаған. Фробен сақиналары нөлдік өлшемді Горенштейн сақиналарының коммутативті емес аналогтары болып табылады. Горенштейн схемалары – Горенштейн сақиналарының геометриялық түрі. Ноэтериандық жергілікті сақиналар үшін келесі кіріктірулер тізбегі бар.
In commutative algebra, a Gorenstein local ring is a commutative Noetherian local ring R with finite injective dimension as an R module. There are many equivalent conditions, some of them listed below, often saying that a Gorenstein ring is self dual in some sense. Gorenstein rings were introduced by Grothendieck in his 1961 seminar (published in ). The name comes from a duality property of singular plane curves studied by (who was fond of claiming that he did not understand the definition of a Gorenstein ring). The zero dimensional case had been studied by and publicized the concept of Gorenstein rings. Frobenius rings are noncommutative analogs of zero dimensional Gorenstein rings. Gorenstein schemes are the geometric version of Gorenstein rings. For Noetherian local rings, there is the following chain of inclusions.
Мысалдар
Әрбір жергілікті толық қиылысу сақинасы, әсіресе әрбір тұрақты жергілікті сақинасы, Горенштейн сақинасы болып табылады. R = k[x,y,z]/(x², y², xz, yz, z²−xy) сақинасы толық қиылысу сақинасы емес, бірақ 0 өлшемді Горенштейн сақинасы болып табылады. Егжей-тегжейлірек айтқанда: R үшін k векторлық кеңістік ретінде негіз мына түрде беріледі: R Горенштейн болып табылады, себебі сокльдің өлшемі k векторлық кеңістігі ретінде 1-ге тең және z² арқылы жазылады. Балама ретінде, R сақинасын x, y, z бірдей дәрежелі санатталған сақина ретінде қарастырғанда, ол Поанкаре дуалдығын қанағаттандыратынын байқауға болады. Соңында, R толық қиылысу емес, өйткені оның 3 генераторы және ең аз 5 (3 емес) қатынастар жиынтығы бар. R = k[x,y]/(x², y², xy) сақинасы 0 өлшемді Коэн-Маколей сақинасы болып табылады, бірақ Горенштейн сақинасы емес. Егжей-тегжейлірек айтқанда: R үшін k векторлық кеңістік ретінде негіз мынадан беріледі: R Горенштейн емес, өйткені сокльдің өлшемі k векторлық кеңістігі ретінде 2-ге тең (1 емес) және x және y арқылы жазылады.