Введение
Локальное кольцо в коммутативной алгебре
В коммутативной алгебре локальное кольцо Горенштейна — это коммутативное ноэтерианское локальное кольцо R с конечным инъективным измерением как R-модуль. Существует множество эквивалентных условий, некоторые из которых перечислены ниже, часто указывающих на то, что кольцо Горенштейна самодвойственно в некотором смысле. Кольца Горенштейна были введены Гротендиком в его семинаре 1961 года (опубликован в…). Название происходит от свойства двойственности сингулярных плоских кривых, изученных (который любил заявлять, что он не понимает определения кольца Горенштейна). Случай с нулевой размерностью был изучен , а концепция колец Горенштейна была популяризирована . Кольца Фробениуса являются некомутативными аналогами горенштейновых колец нулевой размерности. Схемы Горенштейна — это геометрическая версия колец Горенштейна. Для ноэтерианских локальных колец существует следующая цепочка включений.
In commutative algebra, a Gorenstein local ring is a commutative Noetherian local ring R with finite injective dimension as an R module. There are many equivalent conditions, some of them listed below, often saying that a Gorenstein ring is self dual in some sense. Gorenstein rings were introduced by Grothendieck in his 1961 seminar (published in ). The name comes from a duality property of singular plane curves studied by (who was fond of claiming that he did not understand the definition of a Gorenstein ring). The zero dimensional case had been studied by and publicized the concept of Gorenstein rings. Frobenius rings are noncommutative analogs of zero dimensional Gorenstein rings. Gorenstein schemes are the geometric version of Gorenstein rings. For Noetherian local rings, there is the following chain of inclusions.
Примеры
Каждое локальное полное кольцо пересечения, в частности каждое регулярное локальное кольцо, является кольцом Горенштейна. Кольцо R = k[x,y,z]/(x², y², xz, yz, z²−xy) является 0-мерным кольцом Горенштейна, которое не является полным кольцом пересечения. Более подробно: базис для R как k-векторного пространства задается следующим образом: R является кольцом Горенштейна, поскольку его соколь имеет размерность 1 как k-векторное пространство и порождается z². Альтернативно, можно заметить, что R удовлетворяет двойственности Пуанкаре, если рассматривать его как градуированное кольцо, где x, y и z имеют одинаковую степень. Наконец, R не является полным кольцом пересечения, поскольку имеет 3 образующих и минимальный набор из 5 (а не 3) соотношений. Кольцо R = k[x,y]/(x², y², xy) является 0-мерным кольцом Коэна — Маколея, которое не является кольцом Горенштейна. Более подробно: базис для R как k-векторного пространства задается следующим образом: R не является кольцом Горенштейна, поскольку его соколь имеет размерность 2 (а не 1) как k-векторное пространство и порождается x и y.