Кіріспе
Сызықтық алгебра мен функционалдық талдауда проекция – векторлық кеңістіктен өзіне (эндоморфизм) сызықтық трансформация, онда егер проекция кез келген векторға екі рет қолданылса, нәтижесі бір рет қолданғанмен бірдей болады (яғни, проекция идемпотентті). Ол өзінің бейнесін өзгеріссіз қалдырады. "Проекция" терминінің бұл анықтамасы графикалық проекция идеясын формалдайды және жалпылайды. Проекцияның геометриялық нысанға тигізетін әсерін, нысанның нүктелеріне тигізетін әсерін қарастыру арқылы да бағалауға болады.
In linear algebra and functional analysis, a projection is a linear transformation from a vector space to itself (an endomorphism) such that That is, whenever is applied twice to any vector, it gives the same result as if it were applied once (i. e. is idempotent). It leaves its image unchanged. This definition of "projection" formalizes and generalizes the idea of graphical projection. One can also consider the effect of a projection on a geometrical object by examining the effect of the projection on points in the object.
Анықтамалар
Векторлық кеңістіктегі проекция – сызықтық оператор, ондағы проекцияның шарты мынадай: Егер кеңістікте ішкі көбейтінді және толықтық болса, яғни кеңістік Гильберт кеңістігі болса, онда ортогоналдылық ұғымын қолдануға болады. Гильберт кеңістігіндегі проекция, егер ол барлық A үшін орындалса, ортогоналды проекция деп аталады. Ортогоналды емес Гильберт кеңістігіндегі проекция бұрыш проекциясы деп аталады.
When has an inner product and is complete, i. e. when is a Hilbert space, the concept of orthogonality can be used. A projection on a Hilbert space is called an orthogonal projection if it satisfies for all A projection on a Hilbert space that is not orthogonal is called an oblique projection.
Жобалау матрицасы
Квадраттық матрица егер өзінің квадратына тең болса, проекциялық матрица деп аталады, яғни . Квадраттық матрица егер нақты матрица үшін, ал кешенді матрица үшін болатын болса, ортогоналды проекциялық матрица деп аталады, мұнда - матрицаның транспозын, ал - матрицаның түйіндес немесе Эрмиттік транспозын білдіреді. Ортогоналды проекциялық матрица емес проекциялық матрица көлбеу проекциялық матрица деп аталады. Проекциялық матрицаның өзіндік мәндері 0 немесе 1 болуы керек.
Идемпотенция
Анықтамасы бойынша проекция өзіне тең (яғни ).
Ашық карта
Әрбір проекция ашық карта болып табылады, яғни ол домендегі кез келген ашық жиынды кескіннің субкеңістік топологиясындағы ашық жиынға бейнелейді. Яғни, кез келген вектор және ортасы -да (оң радиусы бар) орналасқан кез келген шар үшін, кескінде толығымен орналасқан (оң радиусы бар) -да ортасы бар шар болады.
Болжамдардың көбеюі
Проекциялардың көбейтіндісі, тіпті олар ортогональ болса да, әдетте проекция болып табылмайды. Егер екі проекция бір-бірімен ауысымды болса, олардың көбейтіндісі проекция болады, бірақ керісі дұрыс емес: екі ауысымсыз проекцияның көбейтіндісі проекция болуы мүмкін. Егер екі ортогональды проекция ауысымды болса, олардың көбейтіндісі ортогональды проекция болады. Егер екі ортогональды проекцияның көбейтіндісі ортогональды проекция болса, онда екі ортогональды проекция ауысымды болады (жалпырақтап айтқанда: екі өзіне-өзі қосымша эндоморфизмдер олардың көбейтіндісі өзіне-өзі қосымша болған жағдайда ғана ауысымды болады).
Ортогональды проекциялар
Егер векторлық кеңістікте ішкі көбейтінді болса және ол толық болса (Хилберт кеңістігі болса), онда ортогоналдылық ұғымын қолдануға болады. Ортогоналды проекция – диапазон және ядро ортогоналды кіші кеңістіктер болатын проекция. Осылайша, кез келген және үшін , эквивалентті түрде:
A projection is orthogonal if and only if it is self adjoint. Using the self adjoint and idempotent properties of , for any and in we have , , and
where is the inner product associated with Therefore, and are orthogonal projections. The other direction, namely that if is orthogonal then it is self adjoint, follows from the implication from to
for every and in ; thus
The existence of an orthogonal projection onto a closed subspace follows from the Hilbert projection theorem.
Проекция ортогоналды, егер және тек қана ол өзіне-өзі түйіндес болса. Өзіне-өзі түйіндес және идемпотент қасиеттерін пайдаланып, кез келген және үшін бізде , , және
A projection is orthogonal if and only if it is self adjoint. Using the self adjoint and idempotent properties of , for any and in we have , , and
where is the inner product associated with Therefore, and are orthogonal projections. The other direction, namely that if is orthogonal then it is self adjoint, follows from the implication from to
for every and in ; thus
The existence of an orthogonal projection onto a closed subspace follows from the Hilbert projection theorem.
болады, мұнда – ішкі көбейтіндіге байланысты. Сондықтан және ортогоналды проекциялар. Егер проекция ортогоналды болса, онда ол өзіне-өзі түйіндес болады деген кері тұжырым, – әр және үшін; демек, жабық кіші кеңістікке ортогоналды проекцияның болуы Гилберт проекция теоремасынан туындайды.
A projection is orthogonal if and only if it is self adjoint. Using the self adjoint and idempotent properties of , for any and in we have , , and
where is the inner product associated with Therefore, and are orthogonal projections. The other direction, namely that if is orthogonal then it is self adjoint, follows from the implication from to
for every and in ; thus
The existence of an orthogonal projection onto a closed subspace follows from the Hilbert projection theorem.
Қасиеттер мен ерекше жағдайлар
Ортогональды проекция – шектелген оператор. Өйткені, векторлық кеңістіктегі кез келген үшін Коши-Шварц теңсіздігі бойынша:
Осылайша,
Шектелген өлшемді кешенді немесе нақты векторлық кеңістіктер үшін стандартты ішкі көбейтіндісін орнына қоюға болады.
For finite dimensional complex or real vector spaces, the standard inner product can be substituted for .
Көлбеу проекциялар
Кейде көлбеу проекциялар термині ортогональ емес проекцияларды атау үшін қолданылады. Бұл проекциялар екі өлшемді суреттерде кеңістіктік фигураларды бейнелеу үшін де қолданылады (көлбеу проекцияны қараңыз), бірақ ортогональды проекциялар сияқты жиі емес. Қарапайым ең кіші квадраттар регрессиясының болжамдалған мәнін есептеуге ортогональды проекция қажет болса, құралдық айнымалылар регрессиясының болжамдалған мәнін есептеуге көлбеу проекция қажет. Проекция өз ядросымен және оның диапазонын сипаттау үшін қолданылатын негізгі векторлармен анықталады (ядроның толықтырғышы). Егер осы негізгі векторлар ядроға ортогональ болса, онда проекция ортогональды проекция болып табылады. Егер осы негізгі векторлар ядроға ортогональ емес болса, онда проекция көлбеу проекция болып табылады, немесе жай ғана проекция.
Нөлден басқа проекция операторының матрицалық өрнегі
Болсын – сызықтық оператор, және ол нөлдік оператор емес деп алайық. Егер векторлар диапазонының негізін құраса және осы векторларды матрицаға құраса , онда бүтін сан , әйтпесе және – нөлдік оператор болады. Диапазон мен ядро – қосымша кеңістіктер, сондықтан ядроның өлшемі бар. Одан ядроның ортогональді толықтығы өлшемге ие болады. Бұл өрнектің стандартты дәлелі мынадай: Векторлық кеңістіктегі кез келген вектор үшін , оны былай жіктеуге болады: , мұнда вектор – оператордың бейнесінде, ал вектор – ядросында. Сондықтан , және содан кейін – оператордың ядросы, яғни – нөлдік кеңістік. Басқаша айтқанда, вектор – матрицаның бағандық кеңістігінде, сондықтан , мұндағы – өлшемдік вектор, ал вектор құрастырылуы бойынша шартты қанағаттандырады. Осы шарттарды біріктіре отырып, біз векторды табамыз, осылайша . Матрицалар толық рангты болғандықтан, матрица инверттендіріледі. Сондықтан теңдеуден вектор табылады. Осылайша, кез келген вектор үшін және демек . Егер – ортогональді проекция болса, онда және мына формуланы қолдана отырып, тексеруге болады. Жалпы жағдайда, егер векторлық кеңістік кешендік сандар өрісінде болса, онда гермиттік транспозиция қолданылады және формула бар. Естеріңізге сала кетейік, матрицаның Мур – Пенроуз керісін анықтауға болады, өйткені толық бағандық ранга ие, сондықтан .
This expression generalizes the formula for orthogonal projections given above. A standard proof of this expression is the following. For any vector in the vector space , we can decompose , where vector is in the image of , and vector So , and then is in the kernel of , which is the null space of In other words, the vector is in the column space of so for some dimension vector and the vector satisfies by the construction of Put these conditions together, and we find a vector so that Since matrices and are of full rank by their construction, the matrix is invertible. So the equation gives the vector In this way, for any vector and hence
In the case that is an orthogonal projection, we can take , and it follows that By using this formula, one can easily check that In general, if the vector space is over complex number field, one then uses the Hermitian transpose and has the formula Recall that one can define the Moore–Penrose inverse of the matrix by since has full column rank, so .
Ішкі өнімі бар іздеу проекциясы
Кез келген векторлық кеңістік (осы жағдайда жазықтық) ортогональды векторлармен құрылсын. – вектор болсын. векторының кеңістігіне проекциясын былай анықтауға болады:
мұнда қайталама индекстер бойынша қосынды есептеледі (Айнштейннің қосынды белгілеуі). векторын ортогональды қосынды түрінде жазуға болады: Ескеріңіз, кейде деп белгіленеді. Сызықтық алгебрада мынадай теорема бар: бұл – векторынан кеңістігіне дейінгі ең кіші қашықтық (ортогональды қашықтық) және ол машиналық оқыту сияқты салаларда кеңінен қолданылады.
Каноникалық нысандар
Кез келген векторлық кеңістіктегі проекция, өлшемі бар және белгілі бір денеде анықталған, диагональға келтірілетін матрица болып табылады, себебі оның ең төменгі полиномы , яғни, ерекше сызықтық факторларға жіктеледі. Осылайша, мына түріндегі негіз бар:
мұндағы – проекцияның ранкі. – өлшемді бірлік матрица, – өлшемді нөлдік матрица, ал – тікелей қосынды операторы. Егер векторлық кеңістік кешенді және ішкі көбейтіндімен жабдықталған болса, онда P матрицасы мына түрде болатын ортонормалдық негіз бар:
мұндағы бүтін сандар мен нақты сандар бірегей түрде анықталады. Коэффициенті – ортогональды проекция ретінде әрекет ететін ең үлкен инвариантты кіші кеңістікке сәйкес келеді (яғни, P өзі ортогональды егер және тек қана болса), ал блоктар – бұрыс компоненттерге сәйкес келеді.
Нормаланған векторлық кеңістікке проекциялар
Негізгі векторлық кеңістік нормаланған (қажетті түрде шекті өлшемді емес) векторлық кеңістік болғанда, шекті өлшемді жағдайда маңызды емес талдамалық мәселелерді қарастыру қажет. Енді Банах кеңістігі деп есептейік. Жоғарыда талқыланған алгебралық нәтижелердің көптегені осы контекстке көшу кезінде де сақталады. Берілген тікелей қосындының кеңістіктің толықтыратын кіші кеңістіктерге жіктелуі әлі де проекцияны анықтайды, және керісінше. Егер тікелей қосынды болса, онда анықталған оператор әлі де диапазоны және ядросы бар проекция болып табылады. Сондай-ақ, егер проекция болса, яғни , онда оны проекция екенін тез арада тексеруге болады. Басқаша айтқанда, де проекция болып табылады. қатынасы тікелей қосындыны білдіреді және теңдігі орындалады. Дегенмен, шекті өлшемді жағдайдан айырмашылығы, проекциялардың жалпы жағдайда үздіксіз болуы міндетті емес. Егер кеңістігінің кіші кеңістігі норма топологиясында жабық болмаса, онда оған проекция үздіксіз болмайды. Басқаша айтқанда, үздіксіз проекцияның диапазоны жабық кіші кеңістік болуы керек. Сонымен қатар, үздіксіз проекцияның ядросы (әсіресе, жалпы жағдайда үздіксіз сызықтық оператор) жабық. Осылайша, үздіксіз проекция кеңістігін екі толықтыратын жабық кіші кеңістікке жіктейді: . Керісінше де дұрыс, бірақ қосымша шарттармен. Егер жабық кіші кеңістік болса және жабық кіші кеңістік болса, онда теңдігі орындалса, диапазоны және ядросы болған проекция үздіксіз болады. Бұл жабық график теоремасынан туындайды. және болсын. жабық екенін және кіші кеңістігіне жататындығын көрсету қажет, яғни . Сондай-ақ, және жабық екенін ескерсек, теңдігі орындалады. Бұл талапты дәлелдейді. Жоғарыдағы аргументтер және екі кіші кеңістіктің де жабық екенін пайдаланады. Жалпы, берілген жабық кіші кеңістік үшін, қосымша жабық кіші кеңістік болуы міндетті емес, бірақ Гилберт кеңістіктері үшін бұл әрқашан ортогональді толықтыруды қолдану арқылы жасалуы мүмкін. Банах кеңістіктері үшін бір өлшемді кіші кеңістік әрқашан жабық қосымша кіші кеңістікке ие. Бұл Хан-Банах теоремасының тікелей салдары. сызықтық комбинациясы болсын. Хан-Банах теоремасы бойынша, шарты орындалатын шектелген сызықтық функционал бар. операторы шартын қанағаттандырады, яғни ол проекция болып табылады. шектілігі үздіксіздігін білдіреді, сондықтан ол кеңістігінің жабық қосымша кіші кеңістігі болады.
However, in contrast to the finite dimensional case, projections need not be continuous in general. If a subspace of is not closed in the norm topology, then the projection onto is not continuous. In other words, the range of a continuous projection must be a closed subspace. Furthermore, the kernel of a continuous projection (in fact, a continuous linear operator in general) is closed. Thus a continuous projection gives a decomposition of into two complementary closed subspaces:
The converse holds also, with an additional assumption. Suppose is a closed subspace of If there exists a closed subspace such that 1=X = U ⊕ V, then the projection with range and kernel is continuous. This follows from the closed graph theorem. Suppose xn → x and Pxn → y. One needs to show that Since is closed and {Pxn} ⊂ U, y lies in , i. e. 1=Py = y. Also, 1=xn − Pxn = (I − P)xn → x − y. Because is closed and {(I − P)xn} ⊂ V, we have , i. e. , which proves the claim. The above argument makes use of the assumption that both and are closed. In general, given a closed subspace , there need not exist a complementary closed subspace , although for Hilbert spaces this can always be done by taking the orthogonal complement. For Banach spaces, a one dimensional subspace always has a closed complementary subspace. This is an immediate consequence of Hahn–Banach theorem. Let be the linear span of By Hahn–Banach, there exists a bounded linear functional such that 1=φ(u) = 1. The operator satisfies , i. e. it is a projection. Boundedness of implies continuity of and therefore is a closed complementary subspace of .
Жалпылау
Жалпы алғанда, нормаланған векторлық кеңістіктер арасындағы бейнелеуді қарастыра отырып, осы бейнелеудің ядроның ортогональды толықтыруында изометрия болуын сұрауға болады: яғни, ол изометрия болуы керек (бөлшек изометриямен салыстырыңыз); әсіресе, ол өтетін болуы керек. Ортогональды проекция жағдайында W, V кеңістігінің ішкі кеңістігі болады. Риман геометриясында бұл Риман субординациясының анықтамасында қолданылады.