Введение
Идемоптентное линейное преобразование из векторного пространства в себя
В линейной алгебре и функциональном анализе проекцией называется линейное преобразование из векторного пространства в себя (эндоморфизм), такое что при двукратном применении к любому вектору оно даёт тот же результат, что и при однократном применении (то есть является идемоптентным). Оно не изменяет свой образ. Данное определение "проекции" формализует и обобщает понятие графической проекции. Также можно рассмотреть влияние проекции на геометрический объект, исследуя её действие на точки этого объекта.
Определения
Проекция на векторном пространстве — это линейный оператор, такой что. Когда векторное пространство имеет внутреннее произведение и является полным, то есть когда оно является пространством Гильберта, можно использовать понятие ортогональности. Проекция на пространстве Гильберта называется ортогональной проекцией, если она удовлетворяет для всех. Проекция на пространстве Гильберта, которая не является ортогональной, называется косой проекцией.
When has an inner product and is complete, i. e. when is a Hilbert space, the concept of orthogonality can be used. A projection on a Hilbert space is called an orthogonal projection if it satisfies for all A projection on a Hilbert space that is not orthogonal is called an oblique projection.
Матрица проекции
Квадратная матрица называется проекционной матрицей, если она равна своему квадрату, то есть A² = A. Квадратная матрица называется ортогональной проекционной матрицей, если AᵀA = A для вещественной матрицы и AᴴA = A для комплексной матрицы, где Aᵀ обозначает транспонирование матрицы A, а Aᴴ обозначает эрмитово-сопряжённую матрицу A. Проекционная матрица, которая не является ортогональной проекционной матрицей, называется косой проекционной матрицей. Собственные значения проекционной матрицы могут быть равны только 0 или 1.
Немощность
По определению, проекция является идемпотентной (т.е. проекция, примененная к своему результату, не меняет его).
Открытая карта
Каждая проекция является открытым отображением, то есть она отображает каждое открытое множество в области определения на открытое множество в индуцированной топологии на образе. А именно, для любого вектора и любого шара (с положительным радиусом) с центром в , существует шар (с положительным радиусом) с центром в , который полностью содержится в образе .
Продукт проекций
Произведение проекций не является проекцией в общем случае, даже если они ортогональны. Если две проекции коммутируют, то их произведение является проекцией, но обратное неверно: произведение двух некоммутирующих проекций может быть проекцией. Если две ортогональные проекции коммутируют, то их произведение является ортогональной проекцией. Если произведение двух ортогональных проекций является ортогональной проекцией, то эти две ортогональные проекции коммутируют (в более общем случае: два самосопряжённых эндоморфизма коммутируют тогда и только тогда, когда их произведение самосопряжено).
Ортогональные выступы
Когда векторное пространство имеет внутреннее произведение и является полным (то есть является пространством Гильберта), можно использовать понятие ортогональности. Ортогональная проекция — это проекция, у которой область значений и ядро являются ортогональными подпространствами. Таким образом, для любых векторов x и y из , выполняется:
A projection is orthogonal if and only if it is self adjoint. Using the self adjoint and idempotent properties of , for any and in we have , , and
where is the inner product associated with Therefore, and are orthogonal projections. The other direction, namely that if is orthogonal then it is self adjoint, follows from the implication from to
for every and in ; thus
The existence of an orthogonal projection onto a closed subspace follows from the Hilbert projection theorem.
Проекция является ортогональной тогда и только тогда, когда она самосопряжена. Используя свойства самосопряженности и идемпотентности , для любых векторов x и y из , имеем , , и
A projection is orthogonal if and only if it is self adjoint. Using the self adjoint and idempotent properties of , for any and in we have , , and
where is the inner product associated with Therefore, and are orthogonal projections. The other direction, namely that if is orthogonal then it is self adjoint, follows from the implication from to
for every and in ; thus
The existence of an orthogonal projection onto a closed subspace follows from the Hilbert projection theorem.
где — внутреннее произведение, соответствующее . Следовательно, и являются ортогональными проекциями. Обратное утверждение, а именно, что если является ортогональной, то она самосопряжена, следует из следствия из для любых векторов x и y из ; таким образом,
Существование ортогональной проекции на замкнутое подпространство следует из теоремы Гильберта о проекциях.
A projection is orthogonal if and only if it is self adjoint. Using the self adjoint and idempotent properties of , for any and in we have , , and
where is the inner product associated with Therefore, and are orthogonal projections. The other direction, namely that if is orthogonal then it is self adjoint, follows from the implication from to
for every and in ; thus
The existence of an orthogonal projection onto a closed subspace follows from the Hilbert projection theorem.
Особенности и особые случаи
Ортогональная проекция является ограниченным оператором. Это связано с тем, что для любого вектора в векторном пространстве, по неравенству Коши — Буняковского — Шварца, имеем:
Следовательно, для конечномерных комплексных или вещественных векторных пространств стандартное внутреннее произведение можно подставить вместо .
For finite dimensional complex or real vector spaces, the standard inner product can be substituted for .
Наклонные выступы
Термин "склонные проекции" иногда используется для обозначения неортогональных проекций. Эти проекции также используются для представления пространственных фигур в двухмерных чертежах (см. косоаксонометрическую проекцию), хотя и не так часто, как ортогональные проекции. В то время как для вычисления предсказанного значения регрессии методом наименьших квадратов требуется ортогональная проекция, для вычисления предсказанного значения регрессии с использованием метода инструментальных переменных требуется наклонная проекция. Проекция определяется своим ядром и базисными векторами, используемыми для характеристики её области значений (которая является дополнением к ядру). Если эти базисные векторы ортогональны ядру, то проекция является ортогональной проекцией. Если эти базисные векторы не ортогональны ядру, то проекция является наклонной проекцией или просто проекцией.
Формула представления матрицы для оператора проекции, отличного от нуля
Пусть – линейный оператор, такой что и предположим, что не является нулевым оператором. Пусть векторы образуют базис для области значений , и соберем эти векторы в матрицу . Следовательно, – целое число, иначе и является нулевым оператором. Область значений и ядро – комплементарные пространства, поэтому ядро имеет размерность . Из этого следует, что ортогональное дополнение к ядру имеет размерность . Пусть образуют базис для ортогонального дополнения к ядру проекции, и соберем эти векторы в матрицу . Тогда проекция (при условии ) задается выражением:
Это выражение обобщает формулу для ортогональных проекций, приведенную выше. Стандартное доказательство этого выражения следующее. Для любого вектора в векторном пространстве , мы можем разложить , где вектор принадлежит области значений , а вектор принадлежит ядру , которое является нулевым пространством . Другими словами, вектор принадлежит столбцовому пространству , поэтому для некоторого -мерного вектора и вектор удовлетворяет по построению. Объединив эти условия, мы находим вектор такой, что . Поскольку матрицы и имеют полный ранг по построению, матрица обратима. Следовательно, уравнение дает вектор . Таким образом, для любого вектора и, следовательно, .
В случае, когда является ортогональной проекцией, мы можем взять , и тогда . Используя эту формулу, можно легко проверить, что . В общем случае, если векторное пространство определено над полем комплексных чисел, используется эрмитово-сопряженная матрица и формула . Напомним, что обратную Мура — Пенроуза матрицы можно определить как , поскольку имеет полный столбцовый ранг, следовательно, .
In the case that is an orthogonal projection, we can take , and it follows that By using this formula, one can easily check that In general, if the vector space is over complex number field, one then uses the Hermitian transpose and has the formula Recall that one can define the Moore–Penrose inverse of the matrix by since has full column rank, so .
Проекция поиска с внутренним произведением
Пусть будет векторным пространством (в данном случае плоскостью), порожденным ортогональными векторами. Пусть является вектором. Проекцию вектора на можно определить как
где повторяющиеся индексы суммируются (соглашение Эйнштейна). Вектор можно представить в виде ортогональной суммы, которую иногда обозначают как . Существует теорема линейной алгебры, утверждающая, что это наименьшее расстояние (ортогональное расстояние) от вектора до подпространства , и она широко используется в таких областях, как машинное обучение.
Канонические формы
Любая проекция на векторное пространство размерности над полем является диагонализируемой матрицей, поскольку ее минимальный многочлен делит , который распадается на различные линейные множители. Таким образом, существует базис, в котором имеет вид
где — ранг . Здесь — единичная матрица размера , — нулевая матрица размера , а — оператор прямой суммы. Если векторное пространство комплексное и снабжено внутренним произведением, то существует ортонормированный базис, в котором матрица P имеет вид
где целые числа и действительные числа однозначно определены. Отметим, что фактор соответствует максимальному инвариантному подпространству, на котором действует ортогональная проекция (так что P является ортогональной, если и только если ), а блоки соответствуют косым компонентам.
Проекции на нормированных векторных пространствах
Когда базовое векторное пространство является нормированным (не обязательно конечномерным) векторным пространством, необходимо учитывать аналитические вопросы, не имеющие значения в конечномерном случае. Предположим теперь, что это пространство Банаха. Многие из алгебраических результатов, обсуждавшихся выше, сохраняются при переходе в этот контекст. Заданное разложение прямой суммы в дополняющие подпространства по-прежнему определяет проекцию, и наоборот. Если является прямой суммой , то оператор, определяемый как , по-прежнему является проекцией с областью значений и ядром. Также очевидно, что наоборот, если является проекцией на , то есть , то легко проверить, что , другими словами, также является проекцией. Соотношение подразумевает , и является прямой суммой.
However, in contrast to the finite dimensional case, projections need not be continuous in general. If a subspace of is not closed in the norm topology, then the projection onto is not continuous. In other words, the range of a continuous projection must be a closed subspace. Furthermore, the kernel of a continuous projection (in fact, a continuous linear operator in general) is closed. Thus a continuous projection gives a decomposition of into two complementary closed subspaces:
The converse holds also, with an additional assumption. Suppose is a closed subspace of If there exists a closed subspace such that 1=X = U ⊕ V, then the projection with range and kernel is continuous. This follows from the closed graph theorem. Suppose xn → x and Pxn → y. One needs to show that Since is closed and {Pxn} ⊂ U, y lies in , i. e. 1=Py = y. Also, 1=xn − Pxn = (I − P)xn → x − y. Because is closed and {(I − P)xn} ⊂ V, we have , i. e. , which proves the claim. The above argument makes use of the assumption that both and are closed. In general, given a closed subspace , there need not exist a complementary closed subspace , although for Hilbert spaces this can always be done by taking the orthogonal complement. For Banach spaces, a one dimensional subspace always has a closed complementary subspace. This is an immediate consequence of Hahn–Banach theorem. Let be the linear span of By Hahn–Banach, there exists a bounded linear functional such that 1=φ(u) = 1. The operator satisfies , i. e. it is a projection. Boundedness of implies continuity of and therefore is a closed complementary subspace of .
Однако, в отличие от конечномерного случая, проекции не обязаны быть непрерывными в общем случае. Если подпространство не замкнуто в топологии нормы, то проекция на него не является непрерывной. Иными словами, область значений непрерывной проекции должна быть замкнутым подпространством. Кроме того, ядро непрерывной проекции (фактически, непрерывного линейного оператора в общем случае) замкнуто. Таким образом, непрерывная проекция дает разложение на два дополняющих друг друга замкнутых подпространства: .
However, in contrast to the finite dimensional case, projections need not be continuous in general. If a subspace of is not closed in the norm topology, then the projection onto is not continuous. In other words, the range of a continuous projection must be a closed subspace. Furthermore, the kernel of a continuous projection (in fact, a continuous linear operator in general) is closed. Thus a continuous projection gives a decomposition of into two complementary closed subspaces:
The converse holds also, with an additional assumption. Suppose is a closed subspace of If there exists a closed subspace such that 1=X = U ⊕ V, then the projection with range and kernel is continuous. This follows from the closed graph theorem. Suppose xn → x and Pxn → y. One needs to show that Since is closed and {Pxn} ⊂ U, y lies in , i. e. 1=Py = y. Also, 1=xn − Pxn = (I − P)xn → x − y. Because is closed and {(I − P)xn} ⊂ V, we have , i. e. , which proves the claim. The above argument makes use of the assumption that both and are closed. In general, given a closed subspace , there need not exist a complementary closed subspace , although for Hilbert spaces this can always be done by taking the orthogonal complement. For Banach spaces, a one dimensional subspace always has a closed complementary subspace. This is an immediate consequence of Hahn–Banach theorem. Let be the linear span of By Hahn–Banach, there exists a bounded linear functional such that 1=φ(u) = 1. The operator satisfies , i. e. it is a projection. Boundedness of implies continuity of and therefore is a closed complementary subspace of .
Обратное также верно, при дополнительном условии. Предположим, что является замкнутым подпространством. Если существует замкнутое подпространство, такое что , то проекция с областью значений и ядром непрерывна. Это следует из теоремы о замкнутом графе. Предположим, что и . Нужно показать, что . Поскольку замкнуто и , то лежит в , то есть . Также , следовательно, , поскольку замкнуто и . Это доказывает утверждение. Приведенный выше аргумент опирается на предположение, что оба и замкнуты. В общем случае, для заданного замкнутого подпространства не обязательно существует дополняющее замкнутое подпространство, хотя для гильбертовых пространств это всегда можно сделать, взяв ортогональное дополнение. Для пространств Банаха одномерное подпространство всегда имеет замкнутое дополняющее подпространство. Это непосредственное следствие теоремы Хана-Банаха. Пусть будет линейной оболочкой. По теореме Хана-Банаха существует ограниченный линейный функционал, такой что . Оператор удовлетворяет , то есть является проекцией. Ограниченность влечет за собой непрерывность , и, следовательно, является замкнутым дополняющим подпространством.
However, in contrast to the finite dimensional case, projections need not be continuous in general. If a subspace of is not closed in the norm topology, then the projection onto is not continuous. In other words, the range of a continuous projection must be a closed subspace. Furthermore, the kernel of a continuous projection (in fact, a continuous linear operator in general) is closed. Thus a continuous projection gives a decomposition of into two complementary closed subspaces:
The converse holds also, with an additional assumption. Suppose is a closed subspace of If there exists a closed subspace such that 1=X = U ⊕ V, then the projection with range and kernel is continuous. This follows from the closed graph theorem. Suppose xn → x and Pxn → y. One needs to show that Since is closed and {Pxn} ⊂ U, y lies in , i. e. 1=Py = y. Also, 1=xn − Pxn = (I − P)xn → x − y. Because is closed and {(I − P)xn} ⊂ V, we have , i. e. , which proves the claim. The above argument makes use of the assumption that both and are closed. In general, given a closed subspace , there need not exist a complementary closed subspace , although for Hilbert spaces this can always be done by taking the orthogonal complement. For Banach spaces, a one dimensional subspace always has a closed complementary subspace. This is an immediate consequence of Hahn–Banach theorem. Let be the linear span of By Hahn–Banach, there exists a bounded linear functional such that 1=φ(u) = 1. The operator satisfies , i. e. it is a projection. Boundedness of implies continuity of and therefore is a closed complementary subspace of .
Обобщения
Более общим образом, для отображения между нормированными векторными пространствами можно аналогичным образом задаться вопросом, является ли это отображение изометрией на ортогональном дополнении к ядру: то есть, чтобы оно было изометрией (сравните с частичной изометрией); в частности, оно должно быть сюръективным. Случай ортогональной проекции соответствует ситуации, когда W является подпространством V. В римановой геометрии это используется в определении риманова погружения.