Шеңберлердің жанасу радиустары теңдеуі

Кіріспе

Геометрияда Декарт теоремасы төрт өзара жанасатын шеңбердің радиустары белгілі бір квадрат теңдеуді қанағаттандырады. Бұл теңдеуді шешу арқылы үш берілген, өзара жанасатын шеңберге жанасатын төртінші шеңберді салуға болады. Теореманы 1643 жылы тұжырымдаған Рене Декарт есімімен аталады. Фредерик Соддидің 1936 жылғы "The Kiss Precise" атты өлеңі теореманы төрт шеңбердің иілу шамалары (кері радиустарының белгіленген мәні) тұрғысынан түйіндейді:

Теореманың ерекше жағдайлары шеңберлердің бірі немесе екеуі тура сызықпен (иілу шамасы нөлге тең) алмастырылғанда немесе иілу шамалары бүтін сандар немесе квадраттар болғанда қолданылады. Күрделі сандарды қолданатын теореманың нұсқасы шеңберлердің тек радиустарын ғана емес, орталықтарын да есептеуге мүмкіндік береді. Иілудің тиісті анықтамасымен теорема сфералық және гиперболалық геометрияда да қолданылады. Жоғары өлшемдерде, ұқсас квадрат теңдеу жұптық жанасатын сфералар немесе гиперсфералар жүйелеріне қолданылады.

Тарих

Геометриялық проблемалар, жанасатын шеңберлерді қамтитын, мыңдаған жылдар бойы зерделенді. Б.з.д. III ғасырындағы ежелгі Грекияда Пергалық Аполлоний осы тақырыпқа Ἐπαφαί [Жанасулар] атты толық кітап арнады. Ол кітап жоғалып кетті және көбінесе Александриялық Паппус сипаттаған мазмұны мен ортағасырлық ислам математикасындағы шашыраңқы сілтемелер арқылы белгілі. Дегенмен, грек геометриясы көбінесе түзу сызық пен циркульмен салуға бағытталған. Мысалы, Декарт теоремасымен тығыз байланысты Аполлонийдің мәселесі, өзіне-өзі жанаспаса да, үш берілген шеңберге жанасатын шеңберді салуды сұрайды. Ал Декарт теоремасы геометриялық пішіндерді сипаттайтын сандар арасындағы алгебралық қатынастар арқылы тұжырымдалады. Бұл 17 ғасырдың бірінші жартысында Рене Декарт пен Пьер де Ферманың бастамасы болған аналитикалық геометрияның ерекшелігі. Декарт жанасатын шеңберлер мәселесін 1643 жылы Пфальц ханшайымы Елизаветаға жазған екі хатында қысқаша талқылады. Декарт бастапқыда ханшайымға Аполлонийдің мәселесін қойды. Елизаветаның ішінара нәтижелері толық мәселені аналитикалық түрде шешудің тым қиын екенін көрсеткеннен кейін, ол мәселені үш берілген шеңбердің өзара жанасатын жағдайына дейін жеңілдетті. Осы жеңілдетілген мәселені шешу барысында ол төрт жұппен жанасатын шеңберлердің радиустары немесе қисықтықтары арасындағы байланысты сипаттайтын теңдеуді тапты. Бұл нәтиже Декарт теоремасы деп аталды. Декарт осы қатынасты қалай тапқанын нақты айтпады. Жапон математикасы көбінесе шеңберлер мен олардың жанасуына қатысты мәселелермен айналысты, ал жапон математигі Ямажи Нушидзуми 1751 жылы Декарт шеңбер теоремасының бір түрін айтты. Декарт сияқты, ол оны қисықтықтары емес, радиустары арқылы полиномдық теңдеу ретінде жазды. Бұл теореманың бір түзу сызығы мен үш шеңберге арналған ерекше жағдайы 1824 жылғы жапондық сангаку тақташасында тіркелген. Декарт теоремасын 1826 жылы Якоб Штайнер, 1842 жылы Филипп Бикрофт және 1936 жылы Фредерик Содди қайта ашты. Содди теореманың нұсқасын өлең түрінде жасады, "The Kiss Precise" деп атап, Nature журналында жариялады. Бұл мәселенің жанасатын шеңберлері кейде Содди шеңберлері деп аталады. Содди теореманы сфераларға да қолданды және басқа бір өлеңінде алты сфераның әрқайсысы көршілеріне және үш берілген өзара жанасатын сфераларға жанасатын тізбекті сипаттады, бұл конфигурация қазір Соддидің гекслеті деп аталады. Торольд Госсет және басқалар теорема мен өлеңді кез келген өлшемге дейін кеңейтті; Госсеттің нұсқасы келесі жылы жарияланды. Бұл жалпылау кейде Содди-Госсет теоремасы деп аталады, бірақ гекслет және үш өлшемді нұсқасы бұрыннан, сангакуда және Роберт Лакланның 1886 жылғы еңбегінде белгілі болған. Теореманың көптеген дәлелдемелері жарияланды. Штайнердің дәлелі Паппус тізбектерін және Вивиани теоремасын пайдаланады. Филип Бикрофт пен Х. С. М. Коксетердің дәлелдемелері бастапқы үш шеңбердің жанасу нүктелерінен өтетін тағы төрт шеңберді қамтиды; Коксетер инверсивті геометрияны қолдана отырып дәлелдеме берді. Қосымша дәлелдемелер симметрияға негізделген аргументтерді, сыртқы алгебрадағы есептеулерді немесе Герон формуласының алгебралық өңдеуін қамтиды (қараңыз). Нәтиже сондай-ақ, төрт копланарлық шеңбер орталығының Кейли-Менгер детерминантының нөлге тең екендігінен де туындайды.

Geometrical problems involving tangent circles have been pondered for millennia. In ancient Greece of the third century BC, Apollonius of Perga devoted an entire book to the topic, Ἐπαφαί [Tangencies]. It has been lost, and is known largely through a description of its contents by Pappus of Alexandria and through fragmentary references to it in medieval Islamic mathematics. However, Greek geometry was largely focused on straightedge and compass construction. For instance, the problem of Apollonius, closely related to Descartes' theorem, asks for the construction of a circle tangent to three given circles which need not themselves be tangent. Instead, Descartes' theorem is formulated using algebraic relations between numbers describing geometric forms. This is characteristic of analytic geometry, a field pioneered by René Descartes and Pierre de Fermat in the first half of the 17th century. Descartes discussed the tangent circle problem briefly in 1643, in two letters to Princess Elisabeth of the Palatinate. Descartes initially posed to the princess the problem of Apollonius. After Elisabeth's partial results revealed that solving the full problem analytically would be too tedious, he simplified the problem to the case in which the three given circles are mutually tangent, and in solving this simplified problem he came up with the equation describing the relation between the radii, or curvatures, of four pairwise tangent circles. This result became known as Descartes' theorem. Descartes did not provide the reasoning through which he found this relation. Japanese mathematics frequently concerned problems involving circles and their tangencies, and Japanese mathematician Yamaji Nushizumi stated a form of Descartes' circle theorem in 1751. Like Descartes, he expressed it as a polynomial equation on the radii rather than their curvatures. The special case of this theorem for one straight line and three circles was recorded on a Japanese sangaku tablet from 1824. Descartes' theorem was rediscovered in 1826 by Jakob Steiner, in 1842 by Philip Beecroft, and in 1936 by Frederick Soddy. Soddy chose to format his version of the theorem as a poem, The Kiss Precise, and published it in Nature. The kissing circles in this problem are sometimes known as Soddy circles. Soddy also extended the theorem to spheres, and in another poem described the chain of six spheres each tangent to its neighbors and to three given mutually tangent spheres, a configuration now called Soddy's hexlet. Thorold Gosset and several others extended the theorem and the poem to arbitrary dimensions; Gosset's version was published the following year. The generalization is sometimes called the Soddy–Gosset theorem, although both the hexlet and the three dimensional version were known earlier, in sangaku and in the 1886 work of Robert Lachlan. Multiple proofs of the theorem have been published. Steiner's proof uses Pappus chains and Viviani's theorem. Proofs by Philip Beecroft and by H. S. M. Coxeter involve four more circles, passing through triples of tangencies of the original three circles; Coxeter also provided a proof using inversive geometry. Additional proofs involve arguments based on symmetry, calculations in exterior algebra, or algebraic manipulation of Heron's formula (for which see ). The result also follows from the observation that the Cayley–Menger determinant of the four coplanar circle centers is zero.

Үш конгрегентті шеңбер

Төрт шеңбердің үшеуі түбіртекті болса, олардың орталықтары теңқабырлы үшбұрыш құрайды, сондай-ақ олардың жанасу нүктелері де. Үш шеңберге де жанасатын төртінші шеңбердің екі мүмкіндігі концентрлік, ал [[#math 2 келесідей қысқартылады.

Бүкіл сандар қисықтары

Егер 2 арқылы сипатталған төрт жанасқан шеңбердің қисықтығы бүтін сан болса, теңдеудің екінші шешімімен сипатталған төртінші шеңбердің қисықтығы да бүтін сан болуы керек. Себебі екі шешім де бүтін сандық түбірден жартылай айырмашылықпен ерекшеленеді, сондықтан кез келген шешімнің бүтін сан болуы үшін осы түбір де, демек, екінші шешім де бүтін сан болуы тиіс. Декарт теоремасындағы теңдеуді қанағаттандыратын кез келген төрт бүтін сан төрт жанасқан шеңбердің қисықтығын анықтайды. Осы типтегі төрттіктер Герон үшбұрыштарымен – бүтін қабырғалары бар үшбұрыштармен тығыз байланысты. Кез келген төрт өзара жанасқан шеңберден бастап, төрт шеңбердің біреуін оның балама шешімімен (Виет секірісі) ауыстыру арқылы, барлық мүмкін жағдайларда, Аполлон тығыздамасы деп аталатын шексіз көп жанасқан шеңберлер жүйесіне келіп тіреледі. Егер бастапқы төрт шеңбердің қисықтығы бүтін сан болса, әрбір ауыстыру да бүтін сан болады, сондықтан тығыздамадағы барлық шеңберлердің қисықтығы бүтін сан болады. Бүтін қисықтығы бар кез келген төрт жанасқан шеңбер дәл бір тығыздамаға жатады, ол ең үлкен төрт шеңбердің және ең кіші төрт қисықтықтың түбірлік төрттігімен бірегей түрде сипатталады. Бұл төрттік кез келген басқа төрттіктерден сол тығыздамадан бастап, Декарт теңдеуін шешетін үлкен шеңбермен ең кіші шеңберді ауыстыру арқылы табылады, осылайша одан әрі қысқарту мүмкін болмайды. Түбірлік төрттік, егер оның тривиальды емес ортақ бөлгіші болмаса, жай түбірлік төрттік деп аталады. Кез келген жай түбірлік төрттік екі квадраттың қосындысының жіктелуінен табылады, ал жай болу үшін ол қосымша шарттарды қанағаттандыруы керек. Екі квадраттың қосындысының жіктелуі екі квадраттар теоремасын қолдану арқылы алынады. Кез келген басқа бүтін Аполлон тығыздамасы жай түбірлік төрттікті кез келген бүтін санға көбейту арқылы құрастырылуы мүмкін, ал осы тығыздамадағы кез келген төрттік (яғни Декарт теңдеуінің кез келген бүтін сандық шешімі) түбірлік төрттікті табу үшін қолданылған ауыстыру процесін кері қайтару арқылы құрастырылуы мүмкін. Мысалы, суретте көрсетілген түбірлік төрттік тығыздамасы осылайша екі квадраттың жіктелген қосындысынан жасалған.

When four tangent circles described by [[#math 2 all have integer curvatures, the alternative fourth circle described by the second solution to the equation must also have an integer curvature. This is because both solutions differ from an integer by the square root of an integer, and so either solution can only be an integer if this square root, and hence the other solution, is also an integer. Every four integers that satisfy the equation in Descartes' theorem form the curvatures of four tangent Integer quadruples of this type are also closely related to Heronian triangles, triangles with integer sides and

Starting with any four mutually tangent circles, and repeatedly replacing one of the four with its alternative solution (Vieta jumping), in all possible ways, leads to a system of infinitely many tangent circles called an Apollonian gasket. When the initial four circles have integer curvatures, so does each replacement, and therefore all of the circles in the gasket have integer curvatures. Any four tangent circles with integer curvatures belong to exactly one such gasket, uniquely described by its root quadruple of the largest four largest circles and four smallest curvatures. This quadruple can be found, starting from any other quadruple from the same gasket, by repeatedly replacing the smallest circle by a larger one that solves the same Descartes equation, until no such reduction is possible. A root quadruple is said to be primitive if it has no nontrivial common divisor. Every primitive root quadruple can be found from a factorization of a sum of two squares, , as the quadruple To be primitive, it must satisfy the additional conditions , and Factorizations of sums of two squares can be obtained using the sum of two squares theorem. Any other integer Apollonian gasket can be formed by multiplying a primitive root quadruple by an arbitrary integer, and any quadruple in one of these gaskets (that is, any integer solution to the Descartes equation) can be formed by reversing the replacement process used to find the root quadruple. For instance, the gasket with root quadruple , shown in the figure, is generated in this way from the factorized sum of two squares

Форд шеңберлері

Бір түзу сызық пен бүтін сан қисықтықтарының ерекше жағдайлары Форд шеңберлерінде бірігеді. Бұл – рационалдық нүктелердегі картезиандық координаттар жүйесінің осіне жанасатын шеңберлердің шексіз отбасы. Әрбір бөлшек (ең қарапайым түрінде) түзуге қисықтығы бар нүктеде жанасатын шеңберге ие. Осы қисықтықтардың үшеуі, осьтің нөлдік қисықтығымен бірге, егер сәйкес бөлшектердің екісінің бөлімдері үшіншісінің бөліміне тең болса, Декарт теоремасының шарттарын орындайды. Екі Форд шеңбері, бөлшектер үшін және (екісі де ең қарапайым түрінде) <math> болғанда жанасады. Олар жанасқанда, осьпен және олардың медианты үшін шеңбермен жанасқан шеңберлердің төрттігін құрайды. Форд шеңберлері түбірлік төрттікпен ерекше Аполлоний тығыздамасына жатады, екі параллель түзу арасында шектелген, оларды ось және түзу деп қарастыруға болады. Бұл – түзу сызықты қамтитын және теріс қисықтық шеңберімен шектелмейтін жалғыз Аполлоний тығыздамасы. Форд шеңберлері – осы тығыздамадағы оське жанасатын шеңберлер.