Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бір нәрсені екі тең немесе сәйкес бөлікке бөлу.
Division of something into two equal or congruent parts
Геометрияда екіге бөлу – бір нәрсені екі тең немесе сәйкес бөлікке бөлу (бірдей пішін мен мөлшерге ие). Әдетте, бұл екіге бөлетін сызықты қамтиды, оны бисектор деп те атайды. Бисекторлардың ең көп қарастырылатын түрлері – келесілер: берілген кесіндінің ортасынан өтетін кесінді бисекторі және бұрыш бисекторі, бұрыш төбесінен өтетін және оны екі тең бұрышқа бөлетін сызық. Үш өлшемді кеңістікте екіге бөлу әдетте бисектор жазықтық арқылы жасалады, оны да бисектор деп атайды.
In geometry, bisection is the division of something into two equal or congruent parts (having the same shape and size). Usually it involves a bisecting line, also called a bisector. The most often considered types of bisectors are the segment bisector, a line that passes through the midpoint of a given segment, and the angle bisector, a line that passes through the apex of an angle (that divides it into two equal angles). In three dimensional space, bisection is usually done by a bisecting plane, also called the bisector.
Бұрыш екіге бөліп салушы
Бұрыш биссекторы бұрышты тең өлшемді екі бұрышқа бөледі. Бұрыштың тек бір биссекторы болады. Бұрыш биссекторының әр нүктесі бұрыш қабырғаларынан тең қашықтықта орналасқан. Бұрыштың "ішкі" немесе "ішкі биссекторы" – бұл 180°-тан кіші бұрышты екі тең бұрышқа бөлетін түзу, жарты түзу немесе түзу кесіндісі. "Сыртқы" немесе "сыртқы биссектор" – бұл бір жағы бастапқы бұрышты құрайтын және екінші жағының созылған түрінен түзілген қосымша бұрышты (180° минус бастапқы бұрыш) екі тең бұрышқа бөлетін түзу. Бұрышты тура сызық пен циркуль көмегімен екіге бөлу үшін, төбесінде ортасы болатын шеңбер салынады. Шеңбер бұрышты екі нүктеде қиылысады: әр қабырғасында бір нүктеден. Осы нүктелердің әрқайсысын орталық етіп алып, бірдей радиуста екі шеңбер салыңыз. Шеңберлердің қиылысу нүктелері (екі нүкте) бұрыш биссекторын анықтайтын түзуді көрсетеді. Бұл құралымның дұрыстығын дәлелдеу интуитивті, себебі ол мәселенің симметриясына негізделген. Бұрышты үш бөлікке бөлу (оны үш тең бөлікке бөлу) тек циркуль мен тура сызық көмегімен мүмкін емес (бұл алғаш рет Пьер Ванцель дәлелдеген). Бұрыштың ішкі және сыртқы биссекторлары перпендикуляр болады. Егер бұрыш екі түзу арқылы алгебралық түрде берілсе , онда ішкі және сыртқы биссекторлар екі теңдеумен анықталады.
An angle bisector divides the angle into two angles with equal measures. An angle only has one bisector. Each point of an angle bisector is equidistant from the sides of the angle. The 'interior' or 'internal bisector' of an angle is the line, half line, or line segment that divides an angle of less than 180° into two equal angles. The 'exterior' or 'external bisector' is the line that divides the supplementary angle (of 180° minus the original angle), formed by one side forming the original angle and the extension of the other side, into two equal angles. To bisect an angle with straightedge and compass, one draws a circle whose center is the vertex. The circle meets the angle at two points: one on each leg. Using each of these points as a center, draw two circles of the same size. The intersection of the circles (two points) determines a line that is the angle bisector. The proof of the correctness of this construction is fairly intuitive, relying on the symmetry of the problem. The trisection of an angle (dividing it into three equal parts) cannot be achieved with the compass and ruler alone (this was first proved by Pierre Wantzel). The internal and external bisectors of an angle are perpendicular. If the angle is formed by the two lines given algebraically as and then the internal and external bisectors are given by the two equations
Бүкілсанықты үшбұрыштар
Рационалды бұрыш биссекторы бар бүтін үшбұрыштар кездеседі.
There exist integer triangles with a rational angle bisector.
Төртбұрышты
Дөңгелек төртбұрыштың ішкі бұрыштарының биссектрисалары циклдік төртбұрыш құрайды (яғни, жанындағы бұрыштардың биссектрисаларының төрт қиылысу нүктесі бір шеңберде жатады), немесе олар бір нүктеде түйіседі. Екінші жағдайда, төртбұрыш жанама төртбұрыш болады.
The internal angle bisectors of a convex quadrilateral either form a cyclic quadrilateral (that is, the four intersection points of adjacent angle bisectors are concyclic), or they are concurrent. In the latter case the quadrilateral is a tangential quadrilateral.
Ромб
Ромбтың әр қисасы қарама-қарсы бұрыштарды қақ бөледі.
Each diagonal of a rhombus bisects opposite angles.
Экстангенциалды төртбұрышты
Эксангенциалды төртбұрыштың экцентрі алты бұрыш биссекторының қиылысында жатады. Бұл – екі қарама-қарсы төбе бұрыштарындағы ішкі бұрыш биссекторы, қалған екі төбе бұрыштарындағы сыртқы бұрыш биссекторы (толықтыратын бұрыш биссекторы), және қарама-қарсы қабырғаларының ұзартулары қиылысатын жерде түзілген бұрыштардағы сыртқы бұрыш биссекторы.
The excenter of an ex tangential quadrilateral lies at the intersection of six angle bisectors. These are the internal angle bisectors at two opposite vertex angles, the external angle bisectors (supplementary angle bisectors) at the other two vertex angles, and the external angle bisectors at the angles formed where the extensions of opposite sides intersect.
Парабола
Параболаның кез келген нүктесіндегі жанама, сол нүктеден фокусқа дейінгі түзу және директрисаға перпендикуляр түзу арасындағы бұрышты қақ бөледі.
The tangent to a parabola at any point bisects the angle between the line joining the point to the focus and the line from the point and perpendicular to the directrix.
Медиандар
Үшбұрыштың әрбір медианасы – бір төбесі мен қарама-қарсы қабырғасының ортасынан өтетін түзу кесіндісі, сондықтан ол сол қабырғаны екіге бөледі (бірақ әдетте перпендикуляр емес). Үш медиана үшбұрыштың центроиды деп аталатын нүктеде қиылысады, ол біртекті тығыздыққа ие болған жағдайда, үшбұрыштың массалық орталығы болып табылады; демек, үшбұрыштың центроиды мен оның бір төбесінен өтетін кез келген түзу қарама-қарсы қабырғаны екіге бөледі. Центроид кез келген қабырғаның ортасына, оған қарама-қарсы төбеге қарағанда екі есе жақын орналасқан.
Each of the three medians of a triangle is a line segment going through one vertex and the midpoint of the opposite side, so it bisects that side (though not in general perpendicularly). The three medians intersect each other at a point which is called the centroid of the triangle, which is its center of mass if it has uniform density; thus any line through a triangle's centroid and one of its vertices bisects the opposite side. The centroid is twice as close to the midpoint of any one side as it is to the opposite vertex.
Үшбұрышты
Үшбұрыштың ауданын екіге бөлетін шексіз көп түзулер бар. Олардың үшеуі – үшбұрыштың медианалары (олар қабырғалардың орта нүктелерін қарсы жатқан төбелерімен қосады) және олар үшбұрыштың центройдысында қиылысады; іс жүзінде, олар центройдан өтетін жалғыз ауданды екіге бөлетін түзулер. Тағы үш ауданды екіге бөлетін түзу үшбұрыштың қабырғаларына параллель; олардың әрқайсысы қалған екі қабырғаны белгілі пропорцияда бөлетін кесінділерге бөліп қиып өтеді. Бұл алты түзу үштен біреуімен бірдей нүктеде қиылысады: үш медиананың бірдей нүктеде қиылысуынан басқа, кез келген медиана екі қабырғаға параллель ауданды екіге бөлетін түзулермен де бірдей нүктеде қиылысады. Ауданды екіге бөлетін түзулердің шексіз көптігінің ортақ жазықтығы – дельтоид (дельтоидтың сыртына қарай қисық сызықтармен қосылған үш төбесі бар фигура ретінде кеңінен анықталады, бұл оның ішкі нүктелерін дөңес емес жиынға айналдырады).
There is an infinitude of lines that bisect the area of a triangle. Three of them are the medians of the triangle (which connect the sides' midpoints with the opposite vertices), and these are concurrent at the triangle's centroid; indeed, they are the only area bisectors that go through the centroid. Three other area bisectors are parallel to the triangle's sides; each of these intersects the other two sides so as to divide them into segments with the proportions These six lines are concurrent three at a time: in addition to the three medians being concurrent, any one median is concurrent with two of the side parallel area bisectors. The envelope of the infinitude of area bisectors is a deltoid (broadly defined as a figure with three vertices connected by curves that are concave to the exterior of the deltoid, making the interior points a non convex set).