Кіріспе
Екі түзудің тік бұрышпен (90 градус) кездесуі Геометрияда екі геометриялық нысан, егер олардың қиылысуы тік бұрыштарды (90 градус немесе π/2 радиан бұрыштарды) қиылысу нүктесінде – табан деп аталатын жерде – құраса, перпендикуляр болып есептеледі. Перпендикулярлықты графикалық түрде перпендикуляр белгісі ⟂ арқылы көрсетуге болады. Перпендикуляр қиылыстар екі түзудің (немесе екі түзу кесіндісінің) арасында, түзу мен жазықтықтың арасында және екі жазықтықтың арасында болуы мүмкін. Перпендикулярлық – ортогоналдылықтың жалпы математикалық ұғымының бір нақты мысалы; перпендикулярлық – классикалық геометриялық нысандардың ортогоналдығы. Сондықтан, жоғары математикада "перпендикуляр" сөзі кейде күрделі геометриялық ортогоналдылық жағдайларын сипаттау үшін қолданылады, мысалы, бет пен оның нормаль векторы арасындағы жағдайды. Егер екі түзу тік бұрышпен қиылысса, онда бірінші түзу екінші түзуге перпендикуляр деп айтылады. Нақтырақ айтқанда, бірінші түзу екінші түзуге перпендикуляр болады, егер: 1) екі түзу қиылысса; және 2) қиылысу нүктесінде бірінші түзудің бір жағындағы түзу бұрышы екінші түзумен екі тең бұрышқа бөлінеді. Перпендикулярлықтың симметриялы екенін көрсетуге болады, яғни егер бірінші түзу екінші түзуге перпендикуляр болса, онда екінші түзу де бірінші түзуге перпендикуляр болады. Осы себепті екі түзудің перпендикуляр екенін (бірін-біріне) олардың ретін көрсетпестен айтуға болады. Перпендикулярлықтың керемет мысалын кез келген компаста көруге болады, ондағы бағыттарды қараңыз: Солтүстік, Шығыс, Оңтүстік, Батыс (СОББ). N-S түзуі W-E түзуіне перпендикуляр, ал N-E, E-S, S-W және W-N бұрыштарының бәрі бір-біріне 90° шамасында тең. Перпендикулярлық оңай түзу кесінділеріне және сәулелерге таралады. Мысалы, егер әрбір түзу кесіндісі екі бағытта да созылып, шексіз түзу құрса, онда осы екі түзілген түзу жоғарыда айтылғандай перпендикуляр болады. AB түзу кесіндісі CD түзу кесіндісіне перпендикуляр екенін символмен белгілейміз. Егер түзу өзі қиылысатын жазықтықтағы барлық түзулерге перпендикуляр болса, онда ол жазықтыққа перпендикуляр деп айтылады. Бұл анықтама түзулер арасындағы перпендикулярлық анықтамасына байланысты. Егер екі жазықтықтың кездесетін диэдр бұрышы тік бұрыш болса, онда екі жазықтық перпендикуляр болып есептеледі.
In geometry, two geometric objects are perpendicular if their intersection forms right angles (angles that are 90 degrees or π/2 radians wide) at the point of intersection called a foot. The condition of perpendicularity may be represented graphically using the perpendicular symbol, ⟂. Perpendicular intersections can happen between two lines (or two line segments), between a line and a plane, and between two planes. Perpendicularity is one particular instance of the more general mathematical concept of orthogonality; perpendicularity is the orthogonality of classical geometric objects. Thus, in advanced mathematics, the word "perpendicular" is sometimes used to describe much more complicated geometric orthogonality conditions, such as that between a surface and its normal vector. A line is said to be perpendicular to another line if the two lines intersect at a right angle. Explicitly, a first line is perpendicular to a second line if (1) the two lines meet; and (2) at the point of intersection the straight angle on one side of the first line is cut by the second line into two congruent angles. Perpendicularity can be shown to be symmetric, meaning if a first line is perpendicular to a second line, then the second line is also perpendicular to the first. For this reason, we may speak of two lines as being perpendicular (to each other) without specifying an order. A great example of perpendicularity can be seen in any compass, note the cardinal points; North, East, South, West (NESW)
The line N S is perpendicular to the line W E and the angles N E, E S, S W and W N are all 90° to one another. Perpendicularity easily extends to segments and rays. For example, a line segment is perpendicular to a line segment if, when each is extended in both directions to form an infinite line, these two resulting lines are perpendicular in the sense above. In symbols, means line segment AB is perpendicular to line segment CD. A line is said to be perpendicular to a plane if it is perpendicular to every line in the plane that it intersects. This definition depends on the definition of perpendicularity between lines. Two planes in space are said to be perpendicular if the dihedral angle at which they meet is a right angle.
Перпендикулярдың аяғы
Аяқ сөзі көбінесе перпендикулярлармен байланысты қолданылады. Бұл қолданыс жоғарыдағы суретте және оның түсіндірмесінде көрсетілген. Сурет кез келген бағытта орналасуы мүмкін. Аяқ міндетті түрде төменде болуы керек емес. Дәлірек айтқанда, A нүкте және m түзу болсын. Егер B нүктесі m түзуімен және A нүктесі арқылы өтетін, m түзуіне перпендикуляр түзудің қиылысу нүктесі болса, онда B нүктесі осы A нүктесінен түсірілген перпендикулярдың табаны деп аталады.
Параллель сызықтарға қатысты
Егер екі түзу (a және b) екеуі де үшінші түзуге (c) перпендикуляр болса, үшінші түзу бойындағы барлық бұрыштар тік бұрыштар болады. Сондықтан, Евклид геометриясында, егер екі түзу үшінші түзуге перпендикуляр болса, олар параллель болады, себебі параллельдік постулаты. Керісінше, егер бір түзу екінші түзуге перпендикуляр болса, ол сол екінші түзуге параллель кез келген түзуге де перпендикуляр болады. Оң жақтағы суреттегі барлық қызғылт сары түстегі бұрыштар бір-біріне сәйкес, ал жасыл түстегі бұрыштар да бір-біріне сәйкес, өйткені тік бұрыштар сәйкес келеді және параллель түзулерді қиып өтетін көлденең кесумен түзілген ішкі бұрыштар сәйкес болады. Сондықтан, егер a және b түзулері параллель болса, төмендегі қорытындылардың кез келгені қалғандарына әкеледі:
Суреттегі бұрыштардың бірі тік бұрыш. Қызғылт сары түспен боялған бұрыштардың бірі жасыл түспен боялған бұрыштардың біріне сәйкес келеді. c түзуі a түзуіне перпендикуляр. c түзуі b түзуіне перпендикуляр. Барлық төрт бұрыш тең.
Функциялардың графигі
Екі өлшемді жазықтықта тік бұрыштар екі қиылысқан түзудің еңістерінің көбейтіндісі -1-ге тең болғанда пайда болады. Осылайша, екі сызықтық функция және үшін, функциялардың графиктері перпендикуляр болады, егер .
Векторлардың скалярлық көбейтіндісін пайдаланып да осы нәтижеге қол жеткізуге болады: Біріншіден, координата жүйесін жылдырып, бастапқы нүктені түзулердің қиылысу нүктесіне орналастырыңыз. Содан кейін әр түзу бойындағы екі ығысуды анықтаңыз, , мұндағы . Енді, ішкі көбейтінді перпендикуляр векторлар үшін нөлге тең болады деген фактіні пайдаланыңыз:
(егер немесе нөлге тең болмаса). Екі дәлел де көлденең және тік түзулер үшін жарамды, себебі біреуінің еңісін нөл деп алып, екіншісінің еңісі шексіздікке ұмтырғандағы жағдайды қарастыруға болады. Егер біреуінің еңісі нөлге ұмтылса, екіншісінің еңісі шексіздікке ұмтылады.
Дөңгелектер
Шеңбердің әрбір диаметрі, диаметрдің шеңберді қиылыстыратын нүктедегі сол шеңберге жанама сызыққа перпендикуляр болады. Шеңбердің центрі арқылы өтетін және хорданы екіге бөлетін сызық сегменті, хордаға перпендикуляр болады. Егер кез келген екі перпендикуляр хорданың қиылысы бірінші хорданы a және b ұзындықтарына, ал екінші хорданы c және d ұзындықтарына бөлесе, онда a² + b² + c² + d² диаметрдің квадратына тең болады. Белгілі бір нүктеде қиылысатын кез келген екі перпендикуляр хорданың ұзындықтарының квадраттарының қосындысы, сол нүктеде қиылысатын кез келген басқа екі перпендикуляр хорданың ұзындықтарының квадраттарының қосындысына тең және 8r² – 4p² арқылы беріледі (мұнда r – шеңбердің радиусы, ал p – орталық нүктеден қиылысу нүктесіне дейінгі қашықтық). Фалес теоремасы бойынша, шеңбердегі бір нүкте арқылы өтетін, бірақ диаметрдің қарама-қарсы ұштары арқылы өтетін екі сызық перпендикуляр болады. Бұл, шеңбердің кез келген диаметрі шеңбердегі кез келген нүктеде тік бұрыш құрайды, диаметрдің екі ұшынан басқа дегенмен мағынасы бірдей.
Эллипстер
Эллипстің үлкен және кіші осьтері бір-біріне перпендикуляр және эллипс пен осьтердің қиылысқан нүктелерінде эллипске жанама түзулерге де перпендикуляр. Эллипстің үлкен осі директрисаға және әрбір латус ректумға перпендикуляр.
Параболалар
Параболада симметрия осі ректумның әрқайсысына, директриске және парабола осін қиып өтетін нүктедегі жанама сызыққа перпендикуляр болады. Парабола төбесіне жанама сызықтан бір нүктеден, параболаға басқа жанама сызық сол нүктеден парабола фокусы арқылы өтетін түзуге перпендикуляр болады. Параболаның ортоптикалық қасиеті: егер параболаға екі жанама сызық бір-біріне перпендикуляр болса, онда олар директристе қиылысады. Керісінше, директристе қиылысатын екі жанама сызық перпендикуляр болады. Бұл директрисінің кез келген нүктесінен қарағанда, кез келген парабола тік бұрыш құрайтынын білдіреді.
Гиперболалар
Гиперболаның көлденең осі конъюгат осіне және әрбір директрисаға перпендикуляр болады. Гиперболаның немесе оның қарама-қарсы гиперболасының кез келген P нүктесінен асимптоталарға түсірілген перпендикуляр қашықтықтардың көбейтіндісі P нүктесінің орналасуына тәуелсіз тұрақты шама болып табылады. Тікбұрышты гиперболаның асимптоталары бір-біріне перпендикуляр келеді. Оның эксцентриситеті
A rectangular hyperbola has asymptotes that are perpendicular to each other. It has an eccentricity equal to
Үшбұрыш
Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері бір-біріне перпендикуляр. Үшбұрыштың биіктіктері сәйкес негіздеріне перпендикуляр. Үшбұрыш қабырғаларының орта перпендикулярлары үшбұрыш геометриясында маңызды рөл атқарады. Теңқабырғалы үшбұрыштың Эйлер сызығы үшбұрыш негізіне перпендикуляр. Дроз-Фарни сызық теоремасы үшбұрыштың ортоцентрінде қиылысатын екі перпендикуляр сызықтың қасиеттерін қарастырады. Харкорт теоремасы үшбұрышқа іштей сызылған шеңберге жанама түзуге перпендикуляр және төбеден өтетін сызық сегменттерінің арақатынасын қарастырады.
Төртбұрышты
Квадрат немесе басқа тіктөртбұрышта барлық іргелес қабырғалар жұптары перпендикуляр болады. Тік бұрышты трапеция – екі жұп іргелес қабырғалары перпендикуляр болатын трапеция. Төртбұрыштың әрбір биіктігі қарама-қарсы қабырғасының ортасынан өтетін сол қабырғаға перпендикуляр болады. Ортодиагональ төртбұрыш – диагональдары перпендикуляр төртбұрыш. Оған квадрат, ромб және жұлдыз кіреді. Брахмагупта теоремасы бойынша, циклдік ортодиагональ төртбұрышта бір қабырғаның ортасы мен диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы өтетін түзу қарама-қарсы қабырғаға перпендикуляр болады. Ван Обель теоремасы бойынша, егер төртбұрыштың қабырғаларында сырттан квадраттар салынса, қарама-қарсы квадраттардың орталарын жалғастыратын түзу кесінділері перпендикуляр және тең ұзындықта болады.
Үш өлшемді сызықтар
Үшөлшемді кеңістікте үш түзу жұп-жұппен перпендикуляр болуы мүмкін, мысалы, үшөлшемді Картезиан координаттар жүйесіндегі x, y және z осьтері сияқты.