Кіріспе

Евклид жазықтығындағы барлық үшбұрыштардың қасиеттері
тригонометриядағы синустар заңы

Тригонометрияда синустар заңы, синус заңы, синус формуласы немесе синус ережесі – кез келген үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығын оның бұрыштарының синустарымен байланыстыратын теңдеу. Заңға сәйкес,

мұндағы a, b және c – үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы, ал α, β және γ – оларға қарсы жатқан бұрыштар (2-суретті қараңыз), ал R – үшбұрыштың сырттай шеңбердің радиусы. Теңдеудің соңғы бөлігі қолданылмаған жағдайда, заң кейде кері шамалар арқылы тұжырымдалады;

Синустар заңы екі бұрыш пен қабырғасы белгілі болған кезде үшбұрыштың қалған қабырғаларын есептеу үшін қолданылады – бұл әдіс триангуляция деп аталады. Сондай-ақ, екі қабырғасы және олардың арасындағы емес бұрышы белгілі болған кезде де қолдануға болады. Кейбір жағдайларда үшбұрыш бұл деректермен бірегей түрде анықталмайды (белгісіз жағдай деп аталады) және әдіс жабық бұрыш үшін екі мүмкін мән береді. Синустар заңы – скаленді үшбұрыштардағы ұзындықтар мен бұрыштарды табу үшін қолданылатын екі тригонометриялық теңдеудің бірі, екіншісі – косинустар заңы. Синустар заңы тұрақты қисықтығы бар беттерде жоғары өлшемдерге жалпылана алады.

Тарих

Х. Дж. Дж. Вильсонның «Шығыс ғылымы» кітабында 7-ғасырлық үнді математигі Брахмагуптаның «Брахмасфутасиддханта» атты астрономиялық трактатында қазір біз синус заңы деп білетін нәрсені сипаттағаны айтылады. Осы еңбегінің ішінара аудармасында Кольбрук Брахмагуптаның синус ережесін былай аударады: Үшбұрыштың екі қабырғасының көбейтіндісі, екі еселенген перпендикулярға бөлінгенде, орталық сызыққа тең болады; ал оның екі еселенгені орталық сызықтың диаметрі. Убиратан Д’Амброзио мен Хелайн Селиннің сөзіне қарағанда, сфералық синус заңы 10-ғасырда ашылған. Ол Әбу Махмуд Хожанди, Әбу әл-Уафа Буджанӣ, Насыр әл-Дин әл-Түси және Әбу Наср Мансурға байланыстырылады. Ибн Муадх әл-Джайянидің 11-ғасырдағы «Сфераның белгісіз доғалары туралы кітабында» сфералық синус заңы қамтылған. Жазықтық синус заңы кейін 13-ғасырда Насыр әл-Дин әл-Түсимен айтылған. «Секторлық фигура туралы» еңбегінде ол жазықтық және сфералық үшбұрыштар үшін синус заңын тұжырымдап, осы заңды дәлелдеген. Глен Ван Бруммеленнің айтуынша, «Синус заңы – шын мәнінде Региомонтанның IV кітаптағы тікбұрышты үшбұрыштарды шешуге арналған негізі, ал осы шешімдер өз кезегінде жалпы үшбұрыштарды шешудің негізі болып табылады». Региомонтан – 15-ғасырлық неміс математигі.

Дәлел

Ұзындығы a-ға тең жағын негіз ретінде алғанда, үшбұрыштың биіктігін b sin γ немесе c sin β арқылы есептеуге болады. Бұл екі өрнекті теңестіргенде

және үшбұрыштың негізі ретінде ұзындығы b-ға тең жақ немесе ұзындығы c-ға тең жақты таңдағанда сияқты теңдеулер туындайды.

Мысалдар

Төменде синустар заңы қолданып мәселені шешудің мысалдары көрсетілген.

Басқа дәлелдемелер

Алгебралық дәлелді таза түрде косинустардың сфералық заңынан құрастыруға болады. Косинустардың сфералық заңының сәйкестігінен және оның нақты өрнегінен оң жақ мүшесі циклдік ауыстыруға қатысты өзгермейтіндіктен, сфералық синустық ереже тікелей шығады. Жоғарыдағы геометриялық дәлелде қолданылған фигура Банерджи (осы мақаладағы 3-суретті қараңыз) тарапынан элементарлық сызықтық алгебра және проекциялық матрицаларды қолдана отырып синус заңын шығару үшін де пайдаланылады.

Жоғары өлшемдер

Тетраэдрдің төрт үшбұрышты жағы бар. Тетраэдрдің бір төбесімен ортақ үш жақтың нормаль векторларының полярлық синусының (псин) абсолютті мәні, төртінші жақтың ауданына бөлінгенде, төбе таңдауына тәуелді емес:

Көбірек жалпылай, n өлшемді симплекс үшін (яғни үшбұрыш (n=2), тетраэдр (n=3), пентатоп (n=4) және т.б.) n өлшемді евкалид кеңістігінде, төбеде кездесетін жақтардың нормаль векторларының полярлық синусының абсолютті мәні, төбеге қарама-қарсы жақтың гипер-ауданына бөлінгенде, төбе таңдауына тәуелсіз болады. V-ді n өлшемді симплекстің гиперкөлемі, ал P-ді оның (n-1) өлшемді жақтарының гипер-аудандарының көбейтіндісі деп белгілесек, ортақ қатынас: